【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第1节导数及导数的运算北师大版一、选择题1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为( )A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(1，－1)[答案] C[解析] y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A．－1 B．－2C．2 D．0[答案] B[解析] ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.3．(文)(2022·黄石模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )A．e2 B．eC． D．ln2[答案] B[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.(理)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f′(x)的图像是( )[答案] C[解析] 由题意可知在第二象限⇒⇒b>0，又f′(x)＝2x＋b，故选C．-9-\n4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数[答案] C[解析] 由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．5．(文)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2015(x)等于( )A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案] D[解析] ∵fn(x)＝fn＋4(x)，∴f2015(x)＝f3(x)＝－cosx.(理)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )A．26 B．29C．212 D．215[答案] C[解析] ∵{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212.6．(文)已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )A．(0,0) B．(1,1)C．(0,1) D．(1,0)[答案] D[解析] 由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．(理)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )-9-\nA． B．0C．钝角 D．锐角[答案] C[解析] f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．f′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C．二、填空题7．(文)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为________．[答案] [解析] f′(x)＝3ax2＋6x，又∵f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.(理)若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.[答案] 6[解析] ∵f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，∴f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1，∴f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1，解得f′(－1)＝－2.∴f′(x)＝x2＋4x＋1，∴f′(1)＝6.8．(文)(2022·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．[答案] 5x＋y＋2＝0[解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程．∵y′＝－5ex，∴y′|x＝0＝－5，∴k＝－5，∴切线方程y＝－5x－2.(理)(2022·广东高考)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．[答案] y＝－5x＋3[解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程求法．∵y＝e－5x＋2，∴y′＝－5e－5x|x＝0＝－5.∴k＝－5，又过点(0,3)，∴切线方程y－3＝－5x，-9-\n∴y＝－5x＋3.9．(文)函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.[答案] [解析] ∵f(x)＝，f′(x)＝，切线斜率f′(x0)＝＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝.(理)(2022·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.[答案] 2[解析] ∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f′(x)＝1＋，∴f′(1)＝1＋1＝2.三、解答题10．已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[分析] (1)在点P处的切线以点P为切点．(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．[解析] (1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.∴x＋x－4x＋4＝0.∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.-9-\n∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.一、选择题1．(文)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )A．64 B．32C．16 D．8[答案] A[解析] 求导得y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式，得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.(理)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围为( )A．[－2,2] B．[，]C．[，2] D．[，2][答案] D[解析] ∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.∵θ∈，∴θ＋∈.∴sin∈，∴f′(1)∈[，2]，故选D．2．(文)(2022·南昌质检)若函数f(x)＝excosx，则此函数图像在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )A．0 B．锐角C．直角 D．钝角-9-\n[答案] D[解析] 由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵>1>.而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角．(理)(2022·哈师大附中高三月考)已知函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图像与直线x＝1交于点P，若曲线f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022的值为( )A．1－log20222022 B．－1C．－log20222022 D．1[答案] B[解析] 因为函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图像与直线x＝1交于点P，所以P(1,1)．因为f(x)＝xn＋1，所以f′(x)＝(n＋1)xn，则f′(1)＝n＋1，即切线的斜率为n＋1，故曲线f(x)在P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x＝，即该切线与x轴的交点的横坐标为xn＝，所以log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022＝log2022(×××…×)＝log2022＝－1.二、填空题3．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．[答案] －3[解析] 本题考查导数的几何意义．曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5①又y′＝2ax－，所以4a－＝－②由①②解得所以a＋b＝－3.-9-\n4．(文)若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.[答案] 6[解析] ∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.(理)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．[答案] [解析] 作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．∴切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝.三、解答题5．(文)求下列函数的导数(1)y＝sinxcosx(2)y＝x2ex(3)y＝(＋1)(－1)(4)y＝sin(1－2cos2)[解析] (1)y′＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′＝cosxcosx－sinxsinx＝cos2x.(2)y′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(x2＋2x)ex.(3)∵y＝1－＋－1＝－x＋x－∴y′＝－x－－x－＝－x－(1＋x－1)＝－(1＋)．(4)∵y＝sin(－cos)＝－sinx∴y′＝(－sinx)′＝－cosx.(理)求下列函数的导数：-9-\n(1)y＝ex·lnx(2)y＝x(x2＋＋)(3)y＝sin2(2x＋)(4)y＝ln(2x＋5)．[解析] (1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex(lnx＋)．(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin(2x＋)·cos(2x＋)＝2sin(4x＋)．(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，∴y′＝·(2x＋5)′＝.6．(文)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．[解析] (1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，-9-\n∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.(理)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋.于是解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.-9-
