【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第1节函数及其表示北师大版一、选择题1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x[答案] C[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件，故选C．代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( )A．y＝与y＝1B．y＝与y＝x0C．y＝|x－1|与y＝D．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1[答案] B[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B，A中第一个函数x≠0，第二个函数x∈R，C中第二函数x≠1，第一个函数x∈R，D当x<0时，第一个函数为y＝－2x＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( )A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1)B．f(x)＝()2，g(x)＝C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x－1(x∈Z)D．f(x)＝，g(t)＝[答案] D[解析] 选项A、B、C中函数的定义域不同．3．设函数f(x)＝，若f(α)＝4，则实数α＝( )A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4D．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识．-7-\n当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2.综上可得：α＝－4或2，选B．4．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )A．(－1,1) B．(－1，－)C．(－1,0)D．(，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法．f(x)的定义域为(－1,0)∴－1<2x＋1<0，∴－1<x<－.5．(2022·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3 B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9[答案] C[解析] ∵f(－1)＝f(－2)＝f(－3)解得∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，又∵0<f(－1)≤3，∴0<c－6≤3，∴6<c≤9，选C．6．在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(，－)的原像是( )A．(，－)B．(，－)或(－，)C．(，－)D．(，－)或(－，)[答案] B[解析] 由已知得：解方程组得或 故选B．-7-\n二、填空题7．函数y＝的定义域是________．[答案] {x|－3<x<2}[解析] 要使函数有意义，只需6－x－x2>0，∴x2＋x－6<0.∴－3<x<2，∴f(x)的定义域为{x|－3<x<2}．8．图中的图像所表示的函数的解析式f(x)＝________.[答案] f(x)＝[解析] 由图像知每段为线段．设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1，)和(1，)，(2,0)分别代入求解9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出x123f(x)132x123g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．[答案] 2 2[解析] f[g(1)]＝f(3)＝2.x123f[g(x)]231g[f(x)]312故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝，求f(g(x))和g(f(x))的解析式．[解析] 当x≥0时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1；当x<0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3；∴f(g(x))＝-7-\n又∵当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2；当2x－1<0，即x<时，g(f(x))＝－1；∴g(f(x))＝一、选择题1．函数f(x)＝(m，n为常数，且m≠0)满足f(1)＝，f(x)＝x有唯一解，则f(x)＝( )A． B．C． D．[答案] A[解析] 由f(1)＝可得＝，即m＋n＝2，由f(x)＝x有唯一解可得x()＝0有唯一解，得x＝＝0，得n＝1，综上得m＝1，n＝1，故f(x)＝.2．(改编题)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2022(x)＝( )A． B．C．xD．－[答案] B[解析] 由已知条件得到f2(x)＝f[f1(x)]＝＝＝－，f3(x)＝f[f2(x)]＝＝＝，-7-\nf4(x)＝f[f3(x)]＝＝＝x，f5(x)＝f[f4(x)]＝，易知fn(x)是以4为周期的函数，而2015＝503×4＋3，所以f2022(x)＝f3(x)＝.二、填空题3．(2022·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．[答案] x≤8[解析] 当x<1时，ex－1<1，则ex－1≤2，∴x<1成立．当x≥1时，x≤2，则x≤8.∴1≤x≤8.综上，x≤8.4．(文)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)[答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x＝x，未必有x1＝x2，故①不正确；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，故④正确．(理)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；-7-\n④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)[答案] ②③[解析] 当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原像时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域：(1)y＝＋lgcosx；(2)y＝；(3)y＝lg.[解析] (1)由得∴函数的定义域为∪∪.(2)由(x2－1)≥0，得0<x2－1≤1，∴－≤x<－1或1<x≤.∴函数的定义域为{x|－≤x<－1或1<x≤}．(3)由1－>0，得x>1或x<0，∴函数的定义域为{x|x>1或x<0}．6．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析] (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，-7-\n∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝，则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；③当λ>－1时，同理需≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．-7-
