【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第7节空间向量及其运算(理)北师大版一、选择题1．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c[答案] B[解析] 显然＝－＝(＋)－.2．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直[答案] B[解析] 由题意得＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又与没有公共点，∴AB∥CD．3．已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则( )A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝[答案] D[解析] ∥⇔＝k，得2＝3k，∴k＝.∴x＝6，y＝.4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )-7-\nA．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1[答案] C[解析] 如图，＝＋＝＋＝＋(＋)．5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<，>的值为( )A．0B．C．D．[答案] A[解析] 设＝a，＝b，＝c由已知条件<a，b>＝<a，c>＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos<，>＝0.6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于( )A．B．C．D．-7-\n[答案] D[解析] 由于a，b，c三向量共面．所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有，解得m＝，n＝，λ＝.故选D．二、填空题7．(2022·西安模拟)在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3，则A的坐标是________．[答案] (0,0,6)或(0,0，－2)[解析] 设A(0,0，a)，则|AB|＝＝3，即(a－2)2＝16.∴a＝6或a＝－2.∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案] 2[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．[答案] (1，，1)[解析] 由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)．∴中点M的坐标为(1，，1)．三、解答题10．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.-7-\n(1)求AC1的长；(2)求与夹角的余弦值．[解析] 记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.(1)||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝.(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos<，>＝＝.∴与夹角的余弦值为.一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zC．-7-\n其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析] ①错，向量a，b所在的直线可能重合；②错，向量a，b可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c要求不共面．2．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)[答案] B[解析] 本题考查空间向量所成的角公式，逐一验证：A．cosθ＝＝－，则θ＝120°.B．cosθ＝＝，∴θ＝60°.C．cosθ＝＝－，θ＝120°.D．cosθ＝＝－1，θ＝180°.选B．注意两向量夹角公式cosθ＝，同时注意夹角范围．二、填空题3．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________．[答案] 锐角三角形[解析] ∵·＝0，·＝0，·＝0.∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD．∴BC2＋CD2＝AB2＋AC2＋AC2＋AD2>AB2＋AD2＝BD2，∴∠BCD为锐角．同理∠BDC，∠CBD也为锐角．∴△BCD为锐角三角形．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①|＋＋|2＝3||2；-7-\n②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④此正方体体积为|··|.则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)．[答案] ③④[解析] ∵|＋＋|＝||＝||，∴①正确；∵·(－)＝·，由三垂线定理知⊥，∴②正确；③AD1与A1B异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°，＝，注意方向．④因为·＝0，正确的应是||·||·||.三、解答题5．如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．(1)以，，为基向量表示出向量，并求CM的长；(2)求BN的长．[解析] (1)＝－＝－(＋)＝－－，||2＝(－－)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2cos90°＝2a2－2ab＋b2.∴CM＝||＝.(2)＝＋＝＋(－－)＝(－＋)，-7-\n∴||2＝(2＋2＋2－2·＋2·－2·)＝(2a2＋b2)∴BN＝||＝.6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M.[分析] 建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解．[解析] 如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝＝.∴BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝.∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.(3)依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．∴·＝－＋＋0＝0.∴⊥.∴A1B⊥C1M.-7-
