【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第4节随机事件的概率、互斥事件的概率北师大版一、选择题1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为( )A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8[答案] B[解析] “身高小于160cm”“身高在[160,175]cm”“身高超过175cm”三个事件互斥，由概率的性质知，身高超过175cm的概率为P＝1－(0.2＋0.5)＝0.3.2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )A．P(M)＝，P(N)＝B．P(M)＝，P(N)＝C．P(M)＝，P(N)＝D．P(M)＝，P(N)＝[答案] D[解析] P(M)＝，P(N)＝1－×＝.3．(文)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定[答案] B[解析] 抛一枚硬币，正面向上的次数是随机的，因此抛10次正面向上5次是随机事件．(理)在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是( )A．P(A)≈B．P(A)<C．P(A)>D．P(A)＝[答案] A[解析] 随着试验次数n的增大，频率就越接近事件A的概率．故选A．-7-\n4．(文)从6名学生中选取4人参加数学竞赛，其中A同学被选中的概率为( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 从6名学生中选4人，每人被选中的可能性都是＝，∴P(A)＝.∴选D．(理)某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 由题意知男生有60－24＝36(人)，故男生选中的概率为＝.5．从1,2，…，9中任取2个数，其中①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数；②至少有1个是奇数和两个都是奇数；③至少有1个是奇数和两个都是偶数；④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③[答案] C[解析] 因为至少有1个是奇数和2个都是偶数不可能同时发生，且必有一个发生，属于对立事件．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a，b，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A．B．C．D．[答案] A[解析] 要使△ABC有两个解，需满足的条件是因为A＝30°，所以满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a-7-\n＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是＝.二、填空题7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.[答案] 0.97 0.03[解析] 断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97；于是断头超过两次的概率P2＝1－P2＝1－0.97＝0.03.8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．[答案] 0.8[解析] “甲获胜”记为事件A，“两人下成和棋”记为事件B，则易知A与B互斥，所以甲不输的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.9．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.[答案] [解析] 本小题考查等可能事件的概率．从20张卡片中取一张共20种方法，其中数字和不小于14的共5张，∴P＝＝.三、解答题10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解析] (1)事件A，B，C的概率分别为，，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C．∵A、B、C两两互斥，-7-\n∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.一、选择题1．(文)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.35，则摸出白球的概率是( )A．0.2B．0.3C．0.25D．0.5[答案] C[解析] 记事件A、B、C分别是为“摸出一球是红球”，“摸出一球是黄球”，“摸出一球是白球”，由已知得事件A、B、C互斥，且事件A＋B＋C是必然事件，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，∴P(C)＝1－0.4－0.35＝0.25.(理)荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍．如图，假设现在青蛙在A叶上，则顺时针跳动一次停在C叶上的概率是( )A．B．C．D．[答案] A[解析] 设青蛙按顺时针方向跳的概率为P1，按逆时针方向跳的概率为P2，则有P2-7-\n＝2P1，P1＋P2＝1，∴P1＝，P2＝，则顺时针跳动一次停在C叶上的概率为P1＝.2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 以五位大学生选三人共有10种等可能选法，事件“甲或乙被录用”的对立事件为“甲、乙都未被录用”即“丙、丁、戊被录用”，只有一种等可能情况，所以P＝1－＝.二、填空题3．(文)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．[答案] [解析] 设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.(理)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是________．[答案] [解析] 解法1(直接法)：“至少取到1枝次品”包括：A＝“第一次取次品，第二次取到正品”；B＝“第一次取正品，第二次取到次品”；C＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.解法2(间接法)：“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为-7-\n1－＝.4．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．[答案] [解析] 从四条线段中任取三条的所有情况有：(2,3,4)，(2,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的有(2,3,4)，(2,4,5)和(3,4,5)，所以P＝.三、解答题5．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(min)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40min内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解析] (1)由已知共调查了100人，其中40min内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间(min)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A1、A2分别表示甲选择L1和L2时，在40min内赶到火车站；B1、B2分别表示乙选择L1和L2时，在50min内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，-7-\n∴甲应选择L1.P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.6．(2022·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.-7-
