【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第4节数学归纳法(理)新人教B版一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0最小值为( )A．1 B．3 C．5 D．7[答案] C[解析] n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案] D[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.4．(2022·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6-7-\n按如此规律下去，则a2022＝( )A．501B．502 C．503D．504[答案] D[解析] a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，由于a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，a9＝3，…，所以x1＝1，x3＝2，x5＝3，…，当n为奇数时，xn＝，所以a2022＝x1007＝504.5．(2022·河南洛阳质检)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案] D[解析] f(n)的项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形( )A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D．(8n＋1)个[答案] C[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．二、填空题7．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k-7-\n∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案] 2k＋18．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.[答案] π[解析] 将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π.9．(2022·江西上饶二模)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝________.[答案] [解析] 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3(n－1)，n≥2，所以＝＝＝－，＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.三、解答题10．设n∈N*，n>1，求证：1＋＋＋…＋>.[证明] (1)当n＝2时，不等式左边＝1＋>＝右边．(2)假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋>，那么当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知对任何n∈N*，n>1，1＋＋＋…＋>均成立.一、解答题11．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；-7-\n(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析] (1)当n≥3时，xn＝.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，由此推测an＝(－)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a>0，且an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)，所以an＝(－)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立．(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－)n－1a成立．12．已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝.[解析] (1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝C·2n－2，bn＝＝2C＝n(n－1)(n≥2)．①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝成立那么，当n＝k＋1时，-7-\n左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝.13．(2022·北京房山摸底)已知曲线C：y2＝2x(y≥0)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，An(xn，yn)，…是曲线C上的点，且满足0<x1<x2<…<xn<…，一列点Bi(ai,0)(i＝1,2，…)在x轴上，且△Bi－1AiBi(B0是坐标原点)是以Ai为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A1，B1的坐标；(2)求数列{yn}的通项公式；(3)令bi＝，ci＝，是否存在正整数N，当n≥N时，都有i<i，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵△B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B0A1的方程为y＝x.由得x1＝y1＝2，即点A1的坐标为(2,2)，进而得B1(4,0)．(2)根据△Bn－1AnBn和△BnAn＋1Bn＋1分别是以An和An＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得即xn＋yn＝xn＋1－yn＋1.(*)∵An和An＋1均在曲线C：y2＝2x(y≥0)上，∴y＝2xn，y＝2xn＋1.∴xn＝，xn＋1＝，代入(*)式得y－y＝2(yn＋1＋yn)．∴yn＋1－yn＝2(n∈N*)．∴数列{yn}是以y1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴其通项公式为yn＝2n(n∈N*)．(3)由(2)可知，xn＝＝2n2，∴an＝xn＋yn＝2n(n＋1)．∴bi＝，ci＝＝，∴i＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)，-7-\ni＝＋＋…＋＝＝(1－)．i－i＝(1－)－(1－)＝(－)＝.当n＝1时，b1＝c1不符合题意，当n＝2时b2<c2符合题意，当n＝3时，b3<c3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有i<i，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n≥2时，n＋1≤2n.以下用数学归纳法证明，①当n＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边；②假设n＝k(k≥2)时，k＋1<2k，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋1<2k＋1<2k＋2k＝2k＋1＝右边．∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n＋1<2n，即i<i成立．综上，满足题意的N的最小值为2.14．(2022·重庆理，22)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．[解析] (1)a2＝2，a3＝＋1，再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.下面用数学归纳法证明a2n<c<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．-7-\n综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.-7-
