【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第4节定积分与微积分基本定理(理)新人教B版一、选择题1．(2022·烟台市期中)若a＝sinxdx，b＝cosxdx，则a与b的关系是( )A．a<bB．a>bC．a＝bD．a＋b＝0[答案] A[解析] 解法一：如图知，y＝sinx与y＝cosx的交点为(，)，由对称性及定积分的几何意义知a<b.解法二：a＝sinxdx＝(－cosx)＝cos1，b＝cosxdx＝sinx|＝sin1，∵1>，∴cos1<sin1，∴a<b.2．(2022·石家庄五校联合体摸底)计算(1－cosx)dx＝( )A．π＋2B．π－2C．πD．－2[答案] B[解析] (1－cosx)dx＝(x－sinx)＝(－sin)－[－－sin(－)]＝π－2.3．(2022·北京朝阳区期中)曲线y＝与直线x＝1，x＝e2及x轴所围成的图形的面积是( )A．e2B．e2－1C．eD．2[答案] D[解析] 所求面积4．(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )-6-\nA．±1B.C．±D．2[答案] C[解析] 因为f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(ax3＋bx)|＝9a＋3b,3f(x0)＝3ax＋3b，所以9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，x0＝±，故选C.5.(2022·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )A.B.C.D．[答案] B[解析] 根据定积分知识可得阴影部分面积S＝[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝，点落在区域内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选B.6．(2022·广东中山实验高中段考)已知函数f(x)＝，则∫－1f(x)dx＝( )A.B．1C．2D．[答案] A7.dx＝( )A．4πB．2πC．πD．[答案] C[解析] 令y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝×π×22＝π.-6-\n8．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝dt，若f(x)<a3，则x的取值范围是( )A.B．(0，e21)C．(e－11，e)D．(0，e11)[答案] D[解析] f(x)＝dt＝lnt|＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.二、填空题9．(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex2＋aex图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则f(x)dx＝________.[答案] 1－e[解析] f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e⇒a＝－1，则(ex2－ex)dx＝(ex3－ex)|＝1－e.10.(2022·山西大学附中月考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.[答案] [解析] 圆的面积S＝π3，区域M的面积S′＝2sinxdx＝2(－cosx)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝.一、选择题11．(2022·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )-6-\nA. B. C. D.[答案] D[解析] 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝(x－x3)|＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.12．(2022·抚顺六校联合体期中)设(＋x2)3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为( )A.B．9C.D．[答案] C[解析] (＋x2)3，即(x2＋)3的通项Tr＋1＝C(x2)3－r()r＝Cx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝(3x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.故选C.13．若函数f(x)＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为( )A.B.C．1D．[答案] D[解析] 由图可知a＝＋cosxdx＝＋sinx＝.-6-\n14．(2022·遵义航天中学二模)在由y＝0，y＝1，x＝0，x＝π四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在y＝sinx和x轴围成区域内的概率是( )A．1－B.C.D．[答案] A[解析] 四条直线围成区域的面积S＝π，其中曲线y＝sinx与x轴围成区域的面积S1＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，∴所求概率P＝＝，故选A.15．(2022·莆田市仙游一中期中)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]的正交函数的组数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] ①sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，∴①中f(x)与g(x)为正交函数；②(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝(x3－x)|＝－，∴②中f(x)与g(x)不是正交函数；③(x·x2)dx＝x3dx＝(x4)|＝0，∴③中f(x)与g(x)为正交函数．二、填空题16．(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a＝(sinx－cosx)dx，则二项式(－)8展开式中的常数项是________．(用数字作答)[答案] 1120[解析] a＝(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2，∴二项式(－)8＝(＋)8，∴Tr＋1＝C()8－r()r＝2rCx4－r，令4－r＝0，∴r＝4∴常数项为24×C＝16×70＝1120.三、解答题17．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中-6-\n区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (－1)2[解析] 由题意得S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx＝(xet－ex)|＋(ex－xet)|＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝，∴当t∈[0，)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t∈(，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g()＝e＋1－2e＝(－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(－1)2.-6-
