【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第10章第2节用样本估计总体新人教B版一、选择题1．一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的中位数是( )A．12 B．13 C．14 D．15[答案] A[解析] 设等差数列的公差为d，据题意由a＝a1a7，得82＝(8－2d)(8＋4d)(d≠0)，解得d＝2，即an＝2n＋1，数列为单调递增的数列，且样本容量为9，故其中位数即为a5＝2×5＋2＝12.2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数 C．中位数D．标准差[答案] D[解析] A的众数88，B的众数为88＋2＝90.“各样本都加2”后，平均数显然不同．A的中位数＝86，B的中位数＝88，而由标准差公式S＝知D正确．3．(文)如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A．a1>a2 B．a2>a1C．a1＝a2D．a1、a2的大小不确定[答案] B[解析] 由于去掉一个最高分和一个最低分，则甲去掉70和(90＋m)，乙去掉79和93，故a1＝(1＋5×3＋4)＋80＝84，a2＝(4×3＋6＋7)＋80＝85，∴a2>a1.(理)(2022·六安一模)如图是2022年某校举办“激扬青春，勇担责任”演讲比赛上七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数分别为( )7984 4 4 6 793A.85 87B．84 86 C．84 85D．85 86[答案] C-10-\n[解析] 由茎叶图知，评委为某选手打出的分数分别是79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后分数分别是84,84,84,86,87，所以中位数为84，平均数为×(84＋84＋84＋86＋87)＝85.4.(2022·广州“十校”第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为( )A．100B．120 C．130D．390[答案] A[解析] 支出在[30,50)的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝＝100.5．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )甲乙8 6 508 8 4 0 010 2 87 5 220 2 3 3 78 0 031 2 4 4 83 142 3 8A.甲<乙，m甲>m乙B．甲<乙，m甲<m乙C.甲>乙，m甲>m乙D．甲>乙，m甲<m乙[答案] B[解析] 从茎叶图中知，甲：5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙：10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.甲＝，乙＝，m甲＝＝20，m乙＝＝29.故选B.6．(2022·长春第二次调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )-10-\nA．0.04B．0.06 C．0.2D．0.3[答案] C[解析] 因为分布在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，分布在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1－0.05－0.35＝0.6，又因为年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.二、填空题7．某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)甲 乙806 75 4 110224 8[答案] <[解析] 甲＝(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙＝(6＋7＋10＋24＋28)＝15，S＝[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，S＝[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S1＝，S2＝2，∴S1<S2.8．(2022·石家庄质检)某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有6个单选题，每题答对得20分，答错、不答得零分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：题号一二三四五六答对率80%70%60%50%40%30%则此次调查全体同学的平均分数是________分．[答案] 66[解析] 假设全校人数有x人，则每道试题答对人数及总分分别为题号一二三四五六答对人数0.8x0.7x0.6x0.5x0.4x0.3x每题得分16x14x12x10x8x6x所以六个题的总分为66x，所以平均分为＝66.-10-\n9．(文)(2022·江苏)为了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 由题意知在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.(理)(2022·广东东莞一模)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600.三、解答题10．(文)(2022·豫东、豫北十所名校五模)某中学招聘教师有笔试、面试两个环节，笔试成绩超过85分者才能进入面试环节，现已记录前来应聘的9位男教师和9位女教师的笔试成绩，成绩用茎叶图表示如下：男女9628771367698374245953(1)求男教师的平均成绩和女教师成绩的中位数；(2)从进入面试环节的老师中随机挑选2位老师，求2位老师中至少有一位男教师的概率．[解析] (1)男教师的平均成绩为≈85.2.女教师成绩的中位数为83.-10-\n(2)能进入面试环节的男教师有6位，女教师有3位，记满足条件的6位男教师分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，满足条件的3位女教师分别为b1，b2，b3，则从中任取2人的情况有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)；(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)；(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)；(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)；(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)；(a6，b1)，(a6，b2)，(a6，b3)；(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，即基本事件共有36个，至少有一位男教师的的基本事件有33个，故2位老师中至少有一位男教师的概率P＝＝.(理)某学院为了调查本校学生2022年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E(Y)．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.所以Y的分布列为Y012-10-\nP∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.一、选择题11．(文)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a，则a的值为( )A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4[答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.(理)已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.3的范围是( )A．5.5～7.5B．7.5～9.5C．9.5～11.5D．11.5～13.5[答案] B[解析] 样本容量为20，频率若为0.3，则在此组的频数应为20×0.3＝6.列出频率分布表如下：分组频数频率(5.5,7.5)20.1(7.5,9.5)60.3(9.5,11.5)70.35(11.5,13.5)50.25可知选B.[点评] 解答此类问题，只要数出各小组的频数即可选出答案．12．(2022·济宁一模)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )考试成绩5662 3 3 5 6 8 971 4 6 6 7 8 9 982 5 7 895 8A.117B．118 -10-\nC．118.5D．119.5[答案] B[解析] 由上图可知，最小值为56，最大值为98，故极差为42，又从小到大排列，排在第11,12位的数为76,76，所以中位数为76，所以极差和中位数之和为42＋76＝118.选B.13．(2022·皖南八校联考)已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，则( )A.＝5，S2<2B．＝5，S2>2C.>5，S2<2D．>5，S2>2[答案] A[解析] ＝＝5，S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x8－)2＋(5－5)2]＝(8×2＋0)＝<2.[点评] 一组数据的平均数为a，若再加入一个新数据a，则这组数据的平均数不变，方差变小．14．(文)(2022·天津模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为甲、乙，则下列判断正确的是( )甲乙6 775888 6 82 093A.甲<乙，甲比乙成绩稳定B.甲<乙，乙比甲成绩稳定C.甲>乙，甲比乙成绩稳定D.甲>乙，乙比甲成绩稳定[答案] B[解析] 易知：甲＝88＋＝84.6，乙＝88＋＝86，所以甲<乙；又由图可以看出乙的成绩较为稳定．(理)(2022·济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和中位数y甲，y乙进行比较，下面结论正确的是( )甲乙910953102673230047144667-10-\nA.甲>乙，y甲>y乙B．甲<乙，y甲<y乙C.甲<乙，y甲>y乙D．甲>乙，y甲<y乙[答案] B[解析] 由茎叶图得甲＝＝28，乙＝＝35，y甲＝＝27，y乙＝＝35.5，∴甲<乙，y甲<y乙，故选B.二、填空题15．(2022·福建莆田模拟)一组数据如茎叶图所示，若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于________．0381213621[答案] 63[解析] 这组数据的平均数＝＝12，由题意，剔除2个数据，平均数不变，且方差最小，则这两个数的和等于24且(xi－)2的和最大，所以这两个数为3与21，故剔除的2个数据的积等于3×21＝63.三、解答题16．(2022·中原名校联考)某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最后选出甲乙两名选手代表本校参加市里比赛，甲乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示：甲86948988919092乙88899091939287(1)根据表中的数据分析，哪位选手成绩更为稳定？(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差值至少是3分的概率．[解析] (1)由题意得甲＝＝90，乙＝＝90，S＝[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；-10-\nS＝[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；因为6>4，所以乙选手成绩更稳定．(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：(86,94)，(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：(86,94)，(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概率P＝＝.17．(文)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．(1)求下列频率分布表中所标字母的值．分组频数频率频率/组距…………[180,185)xy…[185,190)mn…[190,195)z…p(2)若从样本身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5事件的概率．[解析] (1)由直方图可得前5组的频率是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，∵第8组与第1组的人数相同，∴第8组的频率是0.008×5＝0.04，频数为z＝0.04×50＝2，∴第6、7两组的频率为1－(0.82＋0.04)＝0.14，频数为0.14×50＝7人，∴x＋m＝7，∵x，m，z成等差数列，∴x＋z＝2m，∴m＝3，x＝4，从而y＝0.08，n＝0.06，p＝0.008，z＝2.(2)由(1)知，身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的人数为2人，设为A，B，若x，y∈[180,185)有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195]有AB有1种情况，若x∈[180,185)，y∈[190,195]时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB有8种情况．所以基本事件总数为6＋1＋8＝15种．所以，事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件为6＋1＝7种，∴P(|x－y|≤5)＝.(理)(2022·太原五中月考)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做实验，各随机抽取部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方图如下图所示：-10-\n若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与使用时间t(单位：千小时)的关系式如下表：使用时间t(单位：千小时)t<44≤t<6t≥6每件产品的利润y(单位：元)－202040若从大量的A型节能灯中随机抽取2件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．[解析] 由频率分布直方图所示，A、B两种产品的使用时间在各个时间段内的频率为：时间段[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)A0.10.20.20.40.1B0.10.20.30.30.1∴A型号节能灯优质品率为0.5，B型号节能灯优质品率为0.4.∴P(A)＝，P(B)＝.(1)从A、B两种型号的节能灯中随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率是P＝C()1·()1·C()1·()1＋C()2·C()2＋C()2·C()2＝.(2)由题意知X的可能取值为－40,0,20,40,60,80，∵P(X＝－40)＝C()2＝，P(X＝0)＝C()1×()1＝，P(X＝20)＝C·()1·()1＝，P(X＝40)＝C()2＝，P(X＝60)＝C()1()1＝，P(X＝80)＝C·()2＝.∴X的分布列为X－40020406080P∴E(X)＝10×(－4×＋0＋2×＋4×＋6×＋8×)＝52.-10-
