第3练 突破充要条件的综合性问题题型一 充分必要条件的判断方法例1 “ea>eb”是“log2a>log2b”的________条件．破题切入点 有关充要条件的判断问题，弄清楚谁是条件谁是结论，然后看谁能推出谁．答案 必要而不充分解析 因为ea>eb⇔a>b，所以取a＝1，b＝－1，则a>blog2a>log2b；若log2a>log2b，则a>b.综上，“ea>eb”“log2a>log2b”，但“ea>eb”⇐“log2a>log2b”．所以“ea>eb”是“log2a>log2b”的必要而不充分条件．题型二 根据充要条件求参数范围例2 函数f(x)＝有且只有一个零点的充分必要条件是________．破题切入点 把函数f(x)的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出f(x)有一个零点的充分必要条件．答案 a≤0或a>1解析 因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是a≤0或a>1.总结提高 (1)充要条件的判断，首先要审清什么是条件，什么是结论，然后再看谁能推出谁，有些还可以先找出条件和结论的等价条件，再看谁能推出谁，还有一些数集或集合形式给出的条件或结论，可以从集合的观点来判断充要条件．(2)根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围．1．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则甲是乙的________条件．答案 必要不充分解析 “甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3”⇒“x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．2．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案 解析 綈p：|4x－3|>1；綈q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，解得綈p：x>1或x<；綈q：x>a＋1或x<a.-4-\n若綈p⇐綈q，则或即0≤a≤.3．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的________条件．答案 充分不必要解析 由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，∴“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．4．(2022·湖北改编)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件．答案 充要解析 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．答案 充分不必要解析 当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．6．“m＝－1”是“直线l1：2x－my＝2m－1与直线l2：x＋2my＝m－2垂直”的________．答案 充分不必要解析 若m＝－1，则直线l1、l2垂直；若直线l1、l2垂直，则有m＝±1，所以“m＝－1”是“直线l1：2x－my＝2m－1与直线l2：x＋2my＝m－2垂直”的充分不必要条件．7．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________．答案 充分不必要解析 由题意知：綈p⇐q⇔(逆否命题)p⇒綈q.8．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是________．①p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ④p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA答案 ④解析 对于①-4-\n，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；对于②，由＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于③，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于④，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.所以p⇔q.综上所述，p是q的充分必要条件的是④.9．在直角坐标系中，点(2m＋3－m2，)在第四象限的充分必要条件是________．答案 －1<m<或2<m<3解析 点(2m＋3－m2，)在第四象限⇔⇔－1<m<或2<m<3.10．(2022·扬州模拟)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．答案 解析 由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a<m<4a，即命题p：3a<m<4a，a>0.由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，解得1<m<，即命题q：1<m<.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.11．给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中，真命题的序号是________．答案 ①④解析 对于①-4-\n，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能得出m＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意到b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°或B＝120°，因此④正确．12．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b＝λa”；②“函数y＝x2＋bx＋c为偶函数”的充要条件是“b＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的编号)．答案 ①②④解析 由共线向量定理，知命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立，故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．-4-
