第2练 常用逻辑用语中的“常考题型”题型一 充分必要条件问题例1 (1)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的________条件．(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的________条件．破题切入点 (1)增函数的性质以及互相推出的关键．(2)三角函数的图象和性质要熟练掌握．答案 (1)充分不必要 (2)必要不充分解析 (1)若f(x)与g(x)都为增函数，根据单调性的定义易知f(x)＋g(x)为增函数；反之f(x)＋g(x)为增函数时，例如f(x)＝－x，g(x)＝2x，f(x)＋g(x)＝x为增函数，但f(x)为减函数，g(x)为增函数．故“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的充分不必要条件．(2)φ＝⇒f(x)＝Acos＝－Asinωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z)D/⇒φ＝.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．即“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．题型二 逻辑联结词、命题真假的判定例2 下列叙述正确的个数是________．①l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；②若命题p：∃x∈R，x2－x＋1≤0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1>0；③在△ABC中，“∠A＝60°”是“cosA＝”的充要条件；④若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角．破题切入点 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案 2解析 对于①，直线l不一定在平面α外，错误；对于②，命题p是存在性命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC中条件，正确；④a·b<0可能〈a，b〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.-4-\n总结提高 (1)充要条件的判断及选择：首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来；其次充要条件与互相推出的关系，有时以集合形式给出时找集合间的包含关系．牵扯到比较复杂的问题时，要将条件转化之后再判断．(2)命题真假的判定方法，注意真值表的使用．(3)四种命题的改写及真假判断．(4)含有一个量词的命题的否定的改写方法．1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．答案 充分不必要解析 若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B.故a＝3不是A⊆B的必要条件．2．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是________．答案 若tanα≠1，则α≠解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠.3．(2022·无锡模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中，真命题为________．答案 p1，p4解析 如数列－2，－1,0,1,2，…，则1×a1＝2×a2，排除p2，如数列1,2,3，…，则＝1，排除p3.4．已知p：<1，q：(x－a)(x－3)>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 －1<0⇒<0⇒(x－1)(x＋1)<0⇒p：－1<x<1.当a≥3时，q：x<3或x>a；当a<3时，q：x<a或x>3.綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且qp，从而可推出a的取值范围是a≥1.5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．答案 存在x∈R，使得x2<0解析 全称命题的否定是一个存在性命题．6．给出下列命题：-4-\n①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3恒成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．其中，真命题为________．(填序号)答案 ①②③解析 ①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x>1；③中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q：∀x∈R，x2－x－1>0，由于x2－x－1＝2－，则存在x值使x2－x－1≤0，故綈q为假命题，则p∧綈q为假命题．7．下列关于命题的说法中正确的是________．①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题答案 ①②③解析 对于①，命题綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0，因此①正确．对于②，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值也可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，②正确．对于③，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此③正确，④中，只要p、q其一为假就会满足p∧q为假，④错．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案 解析 命题p：a≤x2－lnx在[1,2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝x－＝，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝，∴a≤.9．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．答案 充分而不必要解析 当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，则曲线y＝－sin2x过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y＝sin(2x＋2π)＝sin2x，则曲线y＝sin2x过坐标原点，所以“φ＝π”“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．10．(2022·徐州模拟)下列命题中错误的是________．①命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”-4-\n②若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤2中等号成立”的充要条件③已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假④对命题p：∃x∈R，使得x2－2ax－a2<0，则綈p：∀x∈R，x2－2ax－a2≥0答案 ③解析 易知①②④都正确；③中，若p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故③错．11．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案 (－∞，0)∪(，4)解析 若p为真命题，则a＝0或即0≤a<4；若q为真命题，则(－1)2－4a≥0，即a≤.因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以p，q中有且仅有一个为真命题．若p真q假，则<a<4；若p假q真，则a<0.综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪(，4)．12．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________．①逆命题为“周期函数不是单调函数”②否命题为“单调函数是周期函数”③逆否命题为“周期函数是单调函数”④以上三者都不正确答案 ④解析 根据四种命题的构成可得①②③中结论均不正确．-4-
