中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．(1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解 由(2)知，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，M，D分别为AB，PB的中点，经计算可得MD＝5，DC＝5，S△BCD＝×BC×BD×sin∠CBD＝×5×4×＝2.所以VD－BCM＝VM－DBC＝×S△BCD×MD＝×2×5＝10.2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．-5-\n(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴EF⊥PB.(2)解 设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB＝xy≤2＝1.当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．此时，BE＝PE＝2.由(1)知EF⊥平面PBE，∴平面PBE⊥平面EFCB，在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P—EFCB的高．又PO＝PE·sin30°＝2×＝1.S梯形EFCB＝×(2＋4)×2＝6.∴VP—BCFE＝×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别是线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：DP⊥平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F，使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 -5-\n∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥DP.又ABCD为矩形，AB＝2BC，P、Q分别为AB、CD的中点，连结PQ，则PQ⊥DC且PQ＝DC.∴DP⊥PC.∵EP∩PC＝P，∴DP⊥平面EPC.(2)解 假设存在F使平面AFD⊥平面BFC，∵AD∥BC，BC⊂平面BFC，AD⊄平面BFC，∴AD∥平面BFC.∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB.∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角．∵P是AB的中点，且FP⊥AB，∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP.∴当FP＝AP，即＝1时，平面AFD⊥平面BFC.4．(2022·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．(1)证明 连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，得∠ACB＝90°，-5-\nCD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝×S×CD＝××××＝1.5．(2022·辽宁)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明 (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连结OG并延长交AC于M，连结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.6．(2022·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB∩AC＝A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，-5-\n所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解 取线段AB的中点M，连结A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由题意知，O为AC1的中点．连结MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.-5-
