【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十二章概率与统计条件概率、二项式分布与正态分布理（含2022试题）理数1.(2022课标全国卷Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45[答案]1.A[解析]1.由条件概率可得所求概率为=0.8,故选A.2.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，5）在下列命题①②是的充要条件③的展开式中的常数项为2④设随机变量～，若，则其中所有正确命题的序号是（ ）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④[答案]2.B [解析]2. ①显然正确；②应该是充分不必要条件；③展开式中的常数项为，正确；④.3.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，7）设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（ ）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8[答案]3. C17\n[解析]3. ，由题意可得，解得，又因为且随机变量的正态曲线关于对称，所以4.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，6)以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为）（ ）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③[答案]4. [解析]4. ①应为系统（等距）抽样；②线性相关系数的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切；③变量，；④随机变量的观测值越大，判断“与有关系”的把握越大．故选5.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,4)以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为0.8；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案]5.B[解析]5.①是系统抽样；②相关系数越接近1相关性越强，正确；③与关于对称，故在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8，正确；④越大，判断“与有关系”的把握程度越大．6.(2022大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分17\n别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.[答案]6.查看解析[解析]6.记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(Ⅰ)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)7.(2022湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.17\n(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.[答案]7.查看解析[解析]7.记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.(Ⅰ)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.(Ⅱ)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF)=×=.故所求的分布列为X0100120220P 数学期望为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.8.(2022安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为17\n,各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(Ⅱ)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).[答案]8.查看解析[解析]8.用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+×+××=.(Ⅱ)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为X2345P EX=2×+3×+4×+5×=.9.(2022山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球17\n,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.[答案]9.查看解析[解析]9.(Ⅰ)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(Ⅱ)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,17\nP(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得随机变量ξ的分布列为:ξ012346P所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.10.(2022北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(Ⅰ)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(Ⅱ)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(Ⅲ)记为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论)[答案]10.查看解析[解析]10.(Ⅰ)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=A∪B,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)17\n=×+×=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.(Ⅲ)EX=.11.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，18）（原创）小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：(1) 小张恰有4张VCD光盘的概率；(2) 小张的DVD光盘张数的分布列与期望。[答案]11.查看解析[解析]11.(1)记事件为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，则互斥，且，，故所求概率为；(2)所有可能取值为，且，，。故的分布列如右表，的期望。12.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，18)某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟.某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为，假设他各次投篮之间互不影响.若记投篮的次数为，求的分布列和数学期望[答案]12.查看解析17\n[解析]12. 由题意， ………1分， ………2分， ………4分， ………6分， ………8分所以的分布列为： …………9分………12分13.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），18)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顾客人数203010统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）.(注：视频率为概率)（Ⅰ）试确定，的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望.[答案]13.查看解析[解析]13.（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有，；.该商场每日应准备纪念品的数量大约为 件.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，17\n 故4人购物获得纪念品的人数服从二项分布，，，，，，的分布列为：01234（此部分可按的取值，细化为1分，1分的给分）数学期望为或由.（12分）14.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，17)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.求：(Ⅰ)最多取两次就结束的概率；(Ⅱ)整个过程中恰好取到2个白球的概率；(Ⅲ)取球次数X的分布列和数学期望.[答案]14.查看解析[解析]14.解：(Ⅰ)设取求次数为，则，，所以最多取两次的概率为.（4分）(Ⅱ)由题意知可以如下取球：红白白、百、白红白、白白红、白白蓝共四种情况17\n，所以恰有两次取到白球的概率为.（7分）(Ⅲ)设取球次数为，则，所以，，，，（10分） 所以随机变量的分布列为：123所以取球次数的期望为. (12分)15.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，18)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60. （Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若大学决定在成绩高的第，，组中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试.若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；17\n②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.[答案]15.查看解析[解析]15.（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人 （4分）（Ⅱ）设事件甲同学面试成功，则.(8分）由题意，，，，，，所以随机变量的分布列为:012317\n所以，.（12分）16.（2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，18）某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表： 信息技术生物化学物理数学周一周三周五(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．[答案]16.查看解析[解析]16.(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则.（5分）(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.，，，，，所以，随机变量ξ的分布列如下：17\nξ012345P故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.（13分）17.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，18）某次数学测验共有l0道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对l道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响． (I)求该考生本次测验选择题得50分的概率； (Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．[答案]17.查看解析[解析]17.18.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，17）某企业招聘工作人员，设置、、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参17\n加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.[答案]18.查看解析[解析]18. (I)设戊竞聘成功为A事件，则 …………3分（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件 …………6分（Ⅲ）可取0，1，2，3，401234P …………12分19.(2022广西桂林中学高三2月月考，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的3位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列和期望.[答案]19.查看解析[解析]19.(Ⅰ)设该厂、车主购买乙种保险的概率为，则，所以，该车主甲乙两种保险都不买的概率为，由对立事件的概率该车主至少购买甲乙两种保险中的一种的概率为.（6分）17\n(Ⅱ)甲乙两种保险都不买的概率为，随机变量的可能取值为0，1，2，3，当时，，当时，，当时，，当时，，（9分）所以随机变量的分布列为：01230.5120.3840.090.008由于～，所以. （12分）20.(2022湖北武汉高三2月调研测试，20)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．[答案]20.查看解析[解析]20.A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2．P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1/4．………………………………………………4分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝1/8，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝1/4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－1/4－1/8＝5/8．∴X的分布列为21.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,18)为迎接2022年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项17\n，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元.活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止.假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生. （Ⅰ）如果参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a元的概率； （Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.[答案]21.查看解析[解析]21. 解析 随机猜对问题的概率，随机猜对问题的概率.（Ⅰ）设参与者先回答问题，且恰好获得奖金元为事件,则,即参与者先回答问题，其恰好获得奖金元的概率为. （4分）（Ⅱ）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题，再回答问题.参与者获奖金额可取，则，，②先回答问题，再回答问题，参与者获奖金额，可取，则，，于是，当，时，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； 当，时，两种顺序获奖的期望值相等；当，时，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大. （12分）17
