【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十二章概率与统计离散随机变量及其分布列、均值与方差理（含2022试题）理数1.(2022陕西,9,5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a[答案]1.A[解析]1.∵x1,x2,…,x10的均值=1,方差=4,且yi=xi+a(i=1,2,…,10),∴y1,y2,…,y10的均值=(y1+y2+…+y10)=(x1+x2+…+x10+10a)=(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,其方差=[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]==4.故选A.2.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），4)等差数列的公差为1，随机变量ξ等可能的取值，则方差为( )[答案]2. B [解析]2. 由已知可得：均值，所以=，选B. 3.(2022浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=________.[答案]3.[解析]3.设P(ξ=1)=p,则P(ξ=2)=-p,从而由E(ξ)=0×+1×p+2×=1,得p=49\n.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.4.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，14）如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 ．[答案]4. [解析]4. 设被污损的数字为x().甲的平均分为，乙的平均分为，解得，所以x可以取3、4、5、6、7、8、9共7个数值，所以所求概率为.5.(2022大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.[答案]5.查看解析[解析]5.记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(Ⅰ)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)49\n=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)6.(2022重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)[答案]6.查看解析[解析]6.(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P==.(Ⅱ)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.7.(2022四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次49\n击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.[答案]7.查看解析[解析]7.(Ⅰ)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=××=,P(X=20)=××=,P(X=100)=××=,P(X=-200)=××=.所以X的分布列为X1020100-200P (Ⅱ)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(Ⅲ)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.这表明,获得分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.8.(2022福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.49\n(Ⅰ)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(Ⅱ)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.[答案]8.查看解析[解析]8.(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(Ⅱ)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100P X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X240608049\nP X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第(Ⅱ)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.9.(2022江西,21,14分)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记ξ=a2-a1,η=b2-b1.(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.[答案]9.查看解析[解析]9.(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有=20种,所以ξ的分布列为ξ2345PEξ=2×+3×+4×+5×=.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2.又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,P(C)==,(3)由(2)知当n=2时,P()=,因此P(C)>P(),49\n而当n≥3时,P(C)<P().理由如下:①用数学归纳法来证明:1°当n=3时,①式左边=4×(2+)=4×(2+2)=16,①式右边==20,所以①式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时①式也成立.综合1°,2°得,对于n≥3的所有正整数,都有P(C)<P()成立.10.(2022湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?[答案]10.查看解析[解析]10.(Ⅰ)依题意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4××=0.9477.(Ⅱ)记水电站年总利润为Y(单位:万元).(1)安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.(2)安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=1049\n000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:Y420010000P0.20.8所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.(3)安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:Y3400920015000P0.20.70.1所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.11.(2022湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.[答案]11.查看解析[解析]11.记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.(Ⅰ)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.(Ⅱ)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=49\n,P(X=220)=P(EF)=×=.故所求的分布列为X0100120220P 数学期望为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.12.(2022陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概 率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概 率0.40.6(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.[答案]12.查看解析[解析]12.(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(Ⅱ)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2000元的概率为49\nP(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.13.(2022安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(Ⅱ)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).[答案]13.查看解析[解析]13.用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+×+××=.(Ⅱ)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为X2345P 49\nEX=2×+3×+4×+5×=.14.(2022江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).[答案]14.查看解析[解析]14.(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P===.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)==;{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)===;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.所以随机变量X的概率分布如下表:X234P因此随机变量X的数学期望E(X)=2×+3×+4×=.15.(2022山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.49\n[答案]15.查看解析[解析]15.(Ⅰ)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(Ⅱ)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.49\n可得随机变量ξ的分布列为:ξ012346P所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.16.(2022辽宁,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).[答案]16.查看解析[解析]16.(Ⅰ)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(Ⅱ)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.17.(2022天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同49\n学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是X0123P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.18.(2022北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(Ⅰ)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(Ⅱ)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(Ⅲ)记为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论)[答案]18.查看解析[解析]18.(Ⅰ)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.49\n则C=A∪B,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)=×+×=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.(Ⅲ)EX=.19.(2022课表全国Ⅰ，18，12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.[答案]19.查看解析[解析]19.(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.49\n(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.20.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，18）（原创）小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：(1) 小张恰有4张VCD光盘的概率；(2) 小张的DVD光盘张数的分布列与期望。[答案]20.查看解析[解析]20.(1)记事件为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，则互斥，且，，故所求概率为；(2)所有可能取值为，且，，。故的分布列如右表，的期望。21.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，18)如图,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为.(1)写出信息总量的分布列;(2)求信息总量的数学期望.49\n[答案]21.查看解析[解析]21.(1)由已知,的取值为. 2分 , ,, 8分78910的分布列为: 9分(2) 11分 12分22.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，18)某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟.某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为，假设他各次投篮之间互不影响.若记投篮的次数为，求的分布列和数学期望[答案]22.查看解析[解析]22. 由题意， ………1分， ………2分， ………4分49\n， ………6分， ………8分所以的分布列为： …………9分………12分23.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，18)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响.（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？[答案]23.查看解析[解析]23. （1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为，则可能取值为1,2,3 ……………3分所以，考生甲正确完成题目数的分布列为123所以 ……………5分（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为因为，其分布列为：49\n所以 ……………6分又因为 ……………8分所以又因为， ……………10分所以①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强. ……………12分24.(2022山西太原高三模拟考试（一），18)某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如下茎叶图（单位：cm）:A B 9157 7 8 9 9 9 8161 2 4 5 8 96 8 5 0172 3 4 5 67 4 2 1180 1 119 在这30株树苗中，树高在175cm以上(包括175cm)定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm)定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售.(Ⅰ)对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？(II)若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X的分布列，并求X的数学期望.[答案]24.查看解析[解析]24.49\n25.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,17)袋中装有大小相同的黑球和白球共个，从中任取个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止.用表示取球终止时取球的总次数.（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的概率分布及数学期望.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)设袋中原有个白球，则从个球中任取个球都是白球的概率为，由题意知，化简得.解得或（舍去），故袋中原有白球的个数为. （6分） （Ⅱ）由题意，的可能取值为.； ；49\n；. 所以取球次数的概率分布列为：所求数学期望为. （12分）26.(2022福州高中毕业班质量检测,16)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:甲地乙地 803 4 6 812 4 7 8 8 90 2 4 5 620 0 1 2规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.[答案]26.查看解析[解析]26.(Ⅰ)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为（4分）(Ⅱ)的取值为1，2，3，，，，（9分） 所以的分布列为：49\n 1 2 3故的数学期望为.(13分）27.(2022安徽合肥高三第二次质量检测，18)某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与 者摸出的红球数是随机变量誉，受益人获得的公益金y.与摸出的红球数的关系是 y=20000＋5000（单位：元）． （Ⅰ）求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列与期望．[答案]27.查看解析[解析]27. （Ⅰ）在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，魔球结束时赢得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为.（5分）（Ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，对应的随机变量的取值分别为20000,25000，30000.因为，，，所以斯基变量的分布列为：200002500030000所以随机变量的期望是.（12分）28.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，18)（Ⅰ）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?49\n（Ⅱ）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求它的分布列及其数学期望E(S).[答案]28.查看解析[解析]28.（Ⅰ）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．2分（Ⅱ）①设表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域、同色时，共有种；当区域、不同色时，共有种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.（4分）由于只有、，、可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为种）它们是等可能的.又因为、为红色时，共有种；、为红色时，共有种；因此，事件包含的基本事件有：36+36=72种．所以，=． (8分)②随机变量的分布列为：01249\nP所以，=．（12分）29.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），18)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顾客人数203010统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）.(注：视频率为概率)（Ⅰ）试确定，的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望.[答案]29.查看解析[解析]29.（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有，；.该商场每日应准备纪念品的数量大约为 件.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率， 故4人购物获得纪念品的人数服从二项分布，，，，，，的分布列为：0123449\n（此部分可按的取值，细化为1分，1分的给分）数学期望为或由.（12分）30.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，20)已知、两盒中都有红球，白球，且球的形状、大小都相同，盒子中有个红球与个白球，盒子中有个红球与个白球.（Ⅰ）分别从、各取一个球，表示红球的个数；①请写出随机变量的分布列，并证明等于定值；②当为何值时，取到最小值，并求出最小值.（Ⅱ）在盒子中不放回地摸取三个球，事件：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球，事件：在第一次取到白球后，以后两次都去到红球，若概率，求的值.[答案]30.查看解析[解析]30.（Ⅰ）分布列为：012（定值）. （5分），时，最小，最小值为.（8分）49\n （Ⅱ），，.（12分）31.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，18)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验. （Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率； （Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为，求的分布列和期望.[答案]31.查看解析[解析]31.（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3.从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为，则,,所求概率为. （5分）（Ⅱ）的可能取值为0，1，2..X的分布列为：0120.20.60.2的期望为. （12分）32.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,18)某班研究性学习小组在今年11月11日“双11购物节”期间，对[25,55)岁的人群随机抽取了1000人进行了一次是否参加“抢购商品”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图.（I）求统计表中,的值；（Ⅱ）从年龄在[40，50）岁参加“抢购商品”的人群中，采用分层抽样法抽取9人参满意度调查，其中3人感到满意，记感到满意的3人中年龄在[40，50）岁的人数为，求的分布列和数学期望.组数分组抢购商品占本组49\n的人数的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55]150.3[答案]32.查看解析[解析]32.解：（Ⅰ）因为总人数为1000人，所以年龄在[40,45)的人数为所以，因为年龄在[30,35)的人数的频率为，所以年龄在[30,35)的人数为人，所以. (6分)（Ⅱ）依题抽取年龄在[40,45)之间6人，抽取年龄在[45,50)之间3人，,,,所以的分布列为:012349\n所以. (12分)33.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，17)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.求：(Ⅰ)最多取两次就结束的概率；(Ⅱ)整个过程中恰好取到2个白球的概率；(Ⅲ)取球次数X的分布列和数学期望.[答案]33.查看解析[解析]33.解：(Ⅰ)设取求次数为，则，，所以最多取两次的概率为.（4分）(Ⅱ)由题意知可以如下取球：红白白、百、白红白、白白红、白白蓝共四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为.（7分）(Ⅲ)设取球次数为，则，所以，，，，（10分） 所以随机变量的分布列为：123所以取球次数的期望为. (12分)34.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，17）靖国神社是日本军国主义的象征。中国人民珍爱和平，所以要坚决反对日本军国主义.2022年12月26日日本首相安倍晋三悍然参拜靖国神社，此举在世界各国激起舆论的批评。某报的环球舆情调查中心对中国大陆七个代表性城市的1000个普通民众展开民意调查.某城市调查体统计结果如下表： 性别中国政府是否男女49\n需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬需要50250不需要100150(Ⅰ)试估计这七个代表性城市的普通民众中，认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民众所占比例；(Ⅱ)能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的民意与性别有关？(Ⅲ)从被调查认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民众中，采用分层抽样的方式抽取6人做进一步的问卷调查，然后在这6人中用简单随机抽样方法抽取2人进行电视专访，记被抽到的2人中女性的人数为，求的分布列.0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：,[答案]34.查看解析[解析]34.(Ⅰ)由题意知道：，则在这七个代表性城市的普通民众中，认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民众所占的比例大约为.(4分)(Ⅱ)提出假设：这七个代表性城市普通民众的民意与性别无关。由数表知:则有以上的把握认为这七个代表性城市普通民众的民意与性别有关.(7分)(Ⅲ)设抽取的6人中男性有人，女性有6人，则得，所以6人中男性有1人，女性有5人,则随机变量的所有可能取值为1,2,,,则随机变量的分布列如下表：1249\n(12分)35.(2022广东广州高三调研测试，17)空气质量指数(单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250＞250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2022年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示.(Ⅰ)试估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(Ⅱ)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望.[答案]35.查看解析[解析]35.解：(Ⅰ)由茎叶图可知，甲城市在2022年9月份随抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天.所以可估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天.（2分）(Ⅱ)的取值为0，1，2，因为，，.（9分）所以的分布列为：01249\n所以数学期望.（12分）36.(2022北京东城高三第二学期教学检测，16)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（Ⅲ）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.[答案]36.查看解析[解析]36.（Ⅰ）从甲组抽取2人,从乙组抽取1人. （2分）（Ⅱ）从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.（5分）（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以随机变量的的分布列为：0123P所以. （13分）37.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，18)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.49\n （Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若大学决定在成绩高的第，，组中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试.若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.[答案]37.查看解析[解析]37.（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人49\n （4分）（Ⅱ）设事件甲同学面试成功，则.(8分）由题意，，，，，，所以随机变量的分布列为:0123所以，.（12分）38.（2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，18）某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表： 信息技术生物化学物理数学周一49\n周三周五(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．[答案]38.查看解析[解析]38.(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则.（5分）(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.，，，，，所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ012345P故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.（13分）39.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，18）某次数学测验共有l0道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对l道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响． (I)求该考生本次测验选择题得50分的概率； (Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．[答案]39.查看解析[解析]39.49\n40.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，18）一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3（），若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.（1）求的值；（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积，求的分布列和数学期望．[答案]40.查看解析[解析]40. (1)由题设，即，解得………………………4分(2)取值为2，3,4,6,9. 49\n的分布列为： 23469= ………………………12分41.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，17）某企业招聘工作人员，设置、、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.[答案]41.查看解析[解析]41. (I)设戊竞聘成功为A事件，则 …………3分（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件49\n …………6分（Ⅲ）可取0，1，2，3，401234P …………12分42.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，18）前不久，省社科院发布了2022年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．[答案]42.查看解析[解析]42.（1）众数：8.6； 中位数：8.75；……………………………2分（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则； …………………6分（3）的可能取值为0，1，2，3. ；；；……..……………..10分49\n所以的分布列为：. ………..……….…12分另解：的可能取值为0，1，2，3.则，.所以=． 43.(2022广西桂林中学高三2月月考，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的3位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列和期望.[答案]43.查看解析[解析]43.(Ⅰ)设该厂、车主购买乙种保险的概率为，则，所以，该车主甲乙两种保险都不买的概率为，由对立事件的概率该车主至少购买甲乙两种保险中的一种的概率为.（6分）(Ⅱ)甲乙两种保险都不买的概率为，随机变量的可能取值为0，1，2，3，当时，，当时，，当时，，当时，，（9分）所以随机变量的分布列为：01230.5120.3840.090.008由于～，所以. （12分）49\n44.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，20）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀． （Ⅰ）计算x，y的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．[答案]44.查看解析[解析]44.45.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，18)为了参加2022年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言.49\n（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.[答案]45.查看解析[解析]45.解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件， 则.…………………………………………6分（II）的所有可能取值为………………………………………………7分 则，，∴的分布列为：……………………………………………………………………………10分∴……………………………………………13分46.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,19)售价为2元的某种彩票的中奖概率如下：(I)某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元的概率为多少？(Ⅱ)某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，求X的分布列与数学期望，[答案]46.查看解析[解析]46.49\n47.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，18)据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5～106.5～8.5假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.49\n（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值．[答案]47.查看解析[解析]47. （1）A项目投资利润的分布列PB项目投资利润的分布列0P…………………………………………………………6分(2)由题意可知满足的约束条件为………………9分由(1)可知，当，取得最大值15.∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.…12分48.(2022湖北武汉高三2月调研测试，20)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．[答案]48.查看解析[解析]48.A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2．P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1/4．………………………………………………4分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，49\nB1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝1/8，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝1/4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－1/4－1/8＝5/8．∴X的分布列为49.(2022湖北八市高三下学期3月联考，20)甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负看得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局： （I）列出随机变量的分布列； （II）求的期望值E．[答案]49.查看解析[解析]49. 解法1：（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝. ………4分若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有，……………………………7分∴ξ的分布列为ξ246P………9分（Ⅱ）Eξ＝2×＋4×＋6×＝. ………………………………………12分解法2：（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则k表示乙在第k局比赛中获胜.49\n由独立性与互斥性得＝P(A1A2)＋P()＝， …………………………………………2分＝P()＋P()＋P()＋P()＝2[()3()＋()3()]＝， …………………………………………4分＝P()＋P()＋P()＋P()＝4()2()2＝， …………………………………………7分∴ξ的分布列为ξ246P………9分（Ⅱ）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.…………………………………………12分50.(2022江苏苏北四市高三期末统考,22)某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型.某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能. （Ⅰ）求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率； （Ⅱ）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望.[答案]50.查看解析[解析]50. （Ⅰ）设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为.（4分） （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，.１２３所以的分布列为：数学期望.（10分）49\n51.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,18)为迎接2022年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元.活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止.假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生. （Ⅰ）如果参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a元的概率； （Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.[答案]51.查看解析[解析]51. 解析 随机猜对问题的概率，随机猜对问题的概率.（Ⅰ）设参与者先回答问题，且恰好获得奖金元为事件,则,即参与者先回答问题，其恰好获得奖金元的概率为. （4分）（Ⅱ）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题，再回答问题.参与者获奖金额可取，则，，②先回答问题，再回答问题，参与者获奖金额，可取，则，，于是，当，时，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； 当，时，两种顺序获奖的期望值相等；当，时，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大. （12分）52.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,18)某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。(Ⅰ)求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；(Ⅱ)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？[答案]52.查看解析[解析]52.(Ⅰ)甲抽奖一次，基本事件总数为，奖金的所有可能取值为0，30，60，240，49\n一等奖的情况只有一种，所以奖金为120的概率为，三球连号的情况有1，2，3；2，3，4；……；8，9，10共8种，得60元的概率为，仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……；8，9各有6种，得奖金30的概率为，奖金为0的概率为，（4分）的分布列为：03060240（6分）(Ⅱ)有(Ⅰ)可得乙一次抽奖中奖的概率为，因为四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数，故.（12分）53.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，20)我国采用的的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市天的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题： （Ⅰ）求的值，并分别计算：频率分布直直方图中的和这两个矩形的高； （Ⅱ）通过频率分布直方图估计这天的日均值的中位数（结果保留分数形式）； （Ⅲ）从这天的日均值中随机抽取2天，记表示抽到的超标天数，求的分布列和数学期望.[答案]53.查看解析[解析]53. 解析 （Ⅰ），，易知矩形的高为，矩形的高为. （5分)49\n （Ⅱ）其中位数为. （8分） （Ⅲ），，，的分布列为：023. （13分）54.（2022陕西宝鸡高三质量检测(一)，19）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：对别北京上海天津八一人数4635 （Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列及数学期望[答案]54.查看解析[解析]54.（Ⅰ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则. （5分）（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2. （7分）∵，，，∴的分布列为：012P （10分）∴. （12分）55.(2022广州高三调研测试,17)空气质量指数(单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250＞250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2022年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（Ⅰ）试估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（Ⅱ）在甲城市这15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望．49\n[答案]55.查看解析[解析]55. 解析 （Ⅰ）由茎叶图可知，甲城市在2022年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．所以可估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．（2分） （Ⅱ）的取值为0，1，2，因为，，． （9分）所以的分布列为：1所以数学期望． （12分）56.(2022兰州高三第一次诊断考试,18)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩.例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18. ABCA7205B9186C4 （Ⅰ）求抽取的学生人数； （Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求的值； （Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知,,随机变量，求的分布列和数学期望.[答案]56.查看解析[解析]56. 解析 （Ⅰ）依题意，，得. （2分）49\n （Ⅱ）由，得.∵，∴， （5分） （Ⅲ）由题意，知，且，∴满足条件的有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组.∵，∴的取值为1,3,5,7.，，，. （8分）故的分布列为1357P∴. （12分）49
