【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第五章平面向量向量的数量积和运算律、向量的运用理（含2022试题）理数1.(2022浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2[答案]1.D[解析]1.在A中,取a=(1,0),b=0,则min{|a+b|,|a-b|}=1,而min{|a|,|b|}=0,不符合,即A错.在B中,设a=b≠0,则min{|a+b|,|a-b|}=0,而min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即B错.因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b,则当a·b≥0时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;当a·b<0时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即总有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.故选D.2.(2022天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=( )A.B. C. D.[答案]2.C[解析]2.以,为基向量,则·=(+λ)·(+μ)=μ+λ+(1+λμ)·=4(μ+λ)-2(1+λμ)=1①.·=(λ-1)·(μ-1)=-2(λ-1)(μ-1)=-②,由①②可得λ+μ=.3.(2022课标全国卷Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5[答案]3.A[解析]3.由|a+b|=得a2+b2+2a·b=10,①由|a-b|=得a2+b2-2a·b=6,②①-②得4a·b=4,∴a·b=1,故选A.4.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三19\n边上的点，且满足，，，，.则（ ）（A） （B） （C） （D）[答案]4. D[解析]4. 因为＝，∴；又因为，可得,所以DE⊥AC;，则可得,所以可得.5.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，2)已知垂直，则的夹角是（ ）（A）600 （B）900 （C）1350 （D）1200[答案]5. D[解析]5. 由题意可得,得,所以又因为,得.6.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，5)已知点是的重心，若，，则的最小值为（ ） A.B. 19\nC. D.2[答案]6. B[解析]6. 设中角，所对的边分别为，因为，，所以，即，由是的重心，所以，所以，，当且仅当时等号成立.7.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，11),分别是的中线，若，且与的夹角为120°，则（ ）[答案]7. C [解析]7. 由已知可得：,所以,所以,选C.8.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,7)如图，在矩形ABCD中，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD上，的值是（ ）A. B. 2 C. 0 D. 1[答案]8.A[解析]8.==,所以=1.所以，==+=.9.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，10)若19\n所在的平面内的点，且.给出下列说法：①；②的最小值一定是；③点A、在一条直线上；④向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个[答案]9.B [解析]9. 由可得，所以，即，有此可知点在过点且垂直与的直线上，所以③④正确.选B.10.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，3）如图，在中，，则 ( )A.1 B. C.2 D.[答案]10.D [解析]10..11.(2022北京东城高三第二学期教学检测，5)设，是两个非零向量.则下列命题为真19\n命题的是（ ）A.若||＝||－||，则B.若，则||＝||－||C.若||＝||－||，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则||＝||－||[答案]11.C[解析]11. 若等价于反向共线且，所以存在实数，使得，选C.12.(2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，10)在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（ ）A. B. C. D.[答案]12.C[解析]12. 因为，，所以四点共线，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，，则，因为恒有，所以，即恒成立，所以判别式，解得，所以，即点在的中垂线上，故.13.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，10）定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：①； ②；③；④若，则.19\n恒成立的有（ ）A．①③ B.①④ C.②③ D.②④[答案]13. B[解析]13. 根据定义可得，，故①正确；此时可排除选项C、D；故只需判断命题③和④的正确与否.当向量为不为零的相反向量时，可得，显然的值为正值，故③的说法错误，故选B.14.(2022广西桂林中学高三2月月考，6)若，则向量与的夹角为（ ）(A)(B)(C)(D)[答案]14. A[解析]14. 设向量与的夹角为，因为，所以，由，所以，所以，所以.15.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，8）如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则（）A． B． C． D．[答案]15. B[解析]15. 过点C作线段AB的垂线，垂足为D，则根据圆的性质可得AD=，，根据平面向量的数量积可得.19\n16.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,7)已知在△ABC中，，且，则函数的最小值为( ) (A) (B) (C) (D)[答案]16. B[解析]16. 令，因为，由题意可得得，又因为，得.所以，当时，有最小值.17.(2022湖北武汉高三2月调研测试，3)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为A．30° B．60° C．120° D．150°[答案]17. C[解析]17. 由已知,是夹解角为的两个单位向量,所以,,=,又因为故选C.18.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），5)已知点，为坐标原点，动点满足，则点所构成的平面区域的面积是( )19\nA.12 B.16 C.32 D.64[答案]18. C[解析]18. ，，为坐标原点，动点，，，，由，即，他表示的可行域为边长为的正方形，如图，围成的区域的面积是.19.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,10)已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ）A.2 B. C.4 D.[答案]19. B[解析]19.是互相垂直的单位向量，设，，，由，，即，，，，，，当且仅当时取等号，，故的最小值为.20.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,10)已知向量，，满足，，则的最小值为（）19\nA． B． C． D．[答案]20.A[解析]20.由得：，建立直角坐标系可设，代入化简得：，又表示圆上的点到点的距离，由图像可得最小距离为，故选A.21.(2022江西七校高三上学期第一次联考,6)设，向量，，，且，，则（ ）A. B. C. D.10[答案]21. B[解析]21. ，，即，又，，即，，，，故.22.(2022广州高三调研测试,3)已知向量，，，若，则实数的值为（ ）A． B． C． D．[答案]22. A[解析]22. 依题意，，又，，即.23.(2022湖北黄冈高三期末考试)已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（ ）A. 19\nB. C. D. [答案]23. C[解析]23. ，而，，，又，即，在的角平分线上，由此得是的内心，过作于，为圆心，为半径，作的内切圆，如图，分别切、于、，，，，在中，，..24.(2022湖北黄冈高三期末考试)函数的部分图象如图所示，若，则（ ）A. B. 19\nC. D. [答案]24. C[解析]24. 由图知，函数的周期为，设，则，，又，，解得.25.(2022安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则Smin与|a|无关③若a∥b,则Smin与|b|无关④若|b|>4|a|,则Smin>0⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为[答案]25.②④[解析]25.根据题意得S的取值依据含a2的个数,分三类:有0个a2,有1个a2,有2个a2.分别得S的取值为S1=4|a||b|·cosθ+b2,S2=2|a||b|cosθ+a2+2b2,S3=2a2+3b2(记θ=<a,b>).S至多有3个不同的值,故①错误;若a⊥b,则θ=90°,易知Smin=S1=b2=|b|2,与|a|无关,故②正确;若a∥b,则S的三个值均与|b|有关,所以Smin也一定与|b|有关,故③错误;若|b|>4|a|,则S1>-16a2|cosθ|+16a2=16a2(1-|cosθ|)≥0,S2>-8a2|cosθ|+a2+32a2=a2(33-8|cosθ|)>0,S3>0,∴Smin>0,故④正确;若|b|=2|a|,则S1=8a2cosθ+4a2,S2=4a2cosθ+9a2,S3=2a2+12a2=14a2,∵S2-S1=a2(5-4cosθ)>0,S3-S1=2a2(5-4cosθ)>0,∴Smin=S1=8a2cosθ+4a2,若Smin=8|a|2,则可解得cosθ=,∴θ=.故⑤错误.26.(2022江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.[答案]26.22[解析]26.·=(+)·(+)=·=-+·19\n=25-×64-·=13-·=2,故·=22.27.(2022山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tanA,当A=时,△ABC的面积为________.[答案]27.[解析]27.由·=tanA,A=,得||||cos=tan,即||·||==,所以S△ABC=||·||sinA=××=.28.(2022课表全国Ⅰ，15，5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.[答案]28.90°[解析]28.由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以与的夹角为90°.29.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15)设向量a，b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ= [答案]29. [解析]29. 设，则由题意可得，解得.所以，又因为，结合平方关系式可得sinθ=.19\n30.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，14)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，[答案]30. 3[解析]30. 可得点O位线段BC的中点，又因点O为△ABC的外接圆的圆心，由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形，且，根据勾股定理可得，所以，根据投影的定义可知方向上的投影为.31.(2022山西太原高三模拟考试（一），15)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若，则实数m= .(用表示)[答案]31. [解析]31. 设外接圆半径为R，则： 可化为： （*）.易知与的夹角为2∠C，与的夹角为2∠B，与的夹角为0，||=||=||=R.则对（*）式左右分别与作数量积，可得：.即 R2 （cos2C－1）+•R2（cos2B－1）=－2mR2.∴－2sinCcosB+（－2sinBcosC）=－2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即sin（B+C）=m.因为sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，所以，m=sinA=sinθ.32.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），14)若向量,是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为__________.[答案]32.19\n[解析]32. 依题意，投影为.33.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，15)已知,动点满足,则的最大值为________.[答案]33. 6[解析]33. 设动点，因为，，，，所以，即，所以，所以，即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍，因为圆心到坐标原点的距离为2，圆的半径为1，所以的最大值为.,34.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，14）已知是上一动点,线段是的一条动直径(是直径的两端点),则的取值范围是__________________．[答案]34. [15,35][解析]34. 因为，又因为|AB|=2，所以①，又因为，两边同时平方得 ②①②两式相加得，由①得，由圆的性质可得，所以的取值范围是[15,35].35.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，11)设向量，，则向量在向量上的投影为 .[答案]35. 19\n[解析]35. 向量在向量上的投影为.36.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），10)已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，，，则的最小值是 .[答案]36. 18[解析]36. 由已知得，，，即，而.37.(2022江苏苏北四市高三期末统考,13)在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．[答案]37. 7[解析]37. 如图所示，设直线与相交于，由题意知，令，则由，可得，，故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，，，，38. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,14)已知直角中,为斜边的中点，则向量在上的投影为 .[答案]38. 19\n[解析]38. 在直角中，，，为斜边的中点，如图，过点作，垂足为，则是向量在上的投影，，，，向量在上的投影为.39.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，15)设⊙O为不等边的外接圆，内角，，所对边的长分别为,,，是所在平面内的一点，且满足（与不重合），为所在平面外一点，.有下列命题：①若，，则点在平面上的射影恰在直线上； ②若，则； ③若，，则； ④若，则在内部的概率为（、分别表示与圆的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）．[答案]39. ①③④[解析]39. ,,，，，即是的平分线，，在平面上的射影是的外心，，是不等边三角形，点在平面上的射影恰在直线上不正确，故①错误；，为弧的中点，，是在平面上的射影，，，故②正确；由于，则点在圆内，，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故③不正确；若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.19\n故不正确的为①③④.40.(2022陕西宝鸡高三质量检测(一),2)设为向量，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件 [答案]40. C[解析]40. 设向量的夹角为，若，则；若，则，从而，是的充分必要条件.41.(2022江苏苏北四市高三期末统考,15)已知向量，. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，，求的值.[答案]41.查看解析[解析]41. 解析 （Ⅰ）由可知，，所以，所以.（6分）（Ⅱ）由可得，，即， ① （10分）又，且 ②，由①②可解得，，所以.（14分）42.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,17)如图中，已知点在边上，满足，. （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求.[答案]42.查看解析[解析]42. （Ⅰ）因为，所以,即，在中，由余弦定理可知，19\n即，解之得或由于，所以 （7分） （Ⅱ）在中，由正弦定理可知，又由可知，所以,因为,所以 （12分）43.(2022江西七校高三上学期第一次联考,16)如图，平面四边形中，，，，，.（Ⅰ）；（Ⅱ）设，求、的值.[答案]43.查看解析[解析]43. （Ⅰ）设，，则，，. （6分）（Ⅱ）由得， ，解得，. （12分）44.(2022兰州高三第一次诊断考试,17)已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的范围.[答案]44.查看解析[解析]44. 解析 （Ⅰ）∵，，且.19\n，，，即，，而，故. （6分）（Ⅱ）由余弦定理，得，当且仅当时，取等号.，，又，. （12分）45.(2022湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.[答案]45.查看解析[解析]45.（1）,所以，函数的. (5分)（2）,，,,19
