【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第九章平面解析几何直线方程及两条直线的位置关系理（含2022试题）理数1.(2022广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定[答案]1.D[解析]1.由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.2.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，2）已知条件：是两条直线的夹角，条件：是第一象限的角。则“条件”是“条件”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件[答案]2.D[解析]2. 当是两条直线的夹角时,可得,不一定是第一象限角,故“条件”是“条件”的不充分条件;显然“条件”是“条件”的不必要条件,故选D.3.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，7)原点在直线上的射影为点,则直线的方程是（ ）A. B. C.x－2y＋4=0 D.[答案]3. D[解析]3. 依题意，直线的斜率为，所以直线的方程为，即．4.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，9)在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟12\n后，该物体位于点，且，则的值为（ ）A. B. C.D.[答案]4. B[解析]4. 如图，由题意知，直线的方程为：，.设直线直线的方程为：解方程组可得：.由得.选B.5.(2022周宁、政和一中第四次联考，4)已知直线,互相平行，则的值是( )A． B． C．或 D．或[答案]5. A[解析]5. 要直线，则，解得或，当时，与重合，舍去，故.6.（2022大纲，8,5分）椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线12\nPA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.[答案]6.B[解析]6.设P(x0,y0),则有+=1,即4-=,①由题知A1(-2,0),A2(2,0),设直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,则k1=,k2=,所以k1·k2=,②由①②得k1·k2=-,因为k2∈[-2,-1],所以k1的取值范围为,故选B.7.（2022四川，6,5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.[答案]7.B[解析]7.由抛物线y2=4x,有2p=4⇒p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d==.故选B.8.（2022福建，3,5分）双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B. C. D.[答案]8.C[解析]8.双曲线-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线为x±2y=0,故顶点到渐近线的距离d=12\n==,选C.9.（2022江西，9,5分）过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )A. B.- C.± D.-[答案]9.B[解析]9.如图,设直线AB的方程为x=my+(显然m<0),A(x1,y1),B(x2,y2),P(,0),联立消去x得(1+m2)y2+2my+1=0,由题意得Δ=8m2-4(1+m2)>0,所以m2>1,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1·y2=,∴S△AOB=S△POB-S△POA=·|OP|·|y2-y1|=·=·.令t=1+m2(t>2),∴S△AOB=·=·,∴当=,即t=4,m=-时,△AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-,故选B.10.(2022湖南，8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )12\nA.2 B.1 C. D.[答案]10.D[解析]10.以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC方程为x+y-4=0,设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t),设△ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以有=,即3t2-4t=0.所以t=0或t=,因为0<t<4,所以t=,即AP=,故选D.11.（2022安徽，8,5分）函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围是( )A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3}[答案]11.B[解析]11.==…=,即y=f(x)的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式.又交点至少要有两个,至多有四个,故n可取2,3,4.12\n12.(2022大纲全国,15,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.[答案]12.[解析]12.依题意设过点(1,3)且与圆x2+y2=2相切的直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直线与圆相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,设切线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨设tanθ1<0,则tanθ1=-7,tanθ2=1,从而tan(θ1-θ2)==.13.(2022四川,14,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.[答案]13.5[解析]13.易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).14.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），9)过点且垂直于直线的直线方程为 .[答案]14. [解析]14. 依题意，所求直线的斜率为，而所求直线过点，所求直线方程为，即.15.（2022大纲，15,5分）记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 . [答案]15.[解析]15.由不等式组可画出其所表示的平面区域D(如图所示的阴影区域),而直线l:y=a(x+1)恒过定点M(-1,0),故要使该直线与区域D有公共点,只需直线l的斜率界于直线MB与MC的斜率之间(包含边界MB与MC),即kMB≤a≤kMC,又因为B(1,1),C(0,4),所以kMB=,kMC=4,故a∈.12\n16.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），20)已知椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，过点且不垂直于轴的动直线与椭圆相交于、两点，过点的直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）若，求的直线的方程；(Ⅱ)求面积的最大值.[答案]16.查看解析[解析]16. （Ⅰ）设C(x,y),则，① （3分）又C点在椭圆上，有：②联立①②解得或，所以的直线的方程为. （6分） (Ⅱ)设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程得：满足， （8分）弦长，又点到直线的距离为，所以，令，. （13分）12\n17.（2022江西，20,13分）如图,椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P,离心率e=,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.[答案]17.(1)由P在椭圆上得,+=1,①依题设知a=2c,则b2=3c2,②②代入①,解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)解法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),③代入椭圆方程3x2+4y2=12,并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=,④在方程③中令x=4,得M的坐标为(4,3k).从而k1=,k2=,k3==k-.注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有==k.所以k1+k2=+12\n=+-=2k-·,⑤④代入⑤得k1+k2=2k-·=2k-1,又k3=k-,所以k1+k2=2k3.故存在常数λ=2符合题意.解法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为y=(x-1),令x=4,求得M,从而直线PM的斜率为k3=,联立得A,则直线PA的斜率为k1=,直线PB的斜率为k2=,所以k1+k2=+==2k3,故存在常数λ=2符合题意.17.18.（2022陕西，20,13分）已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.[答案]18.(Ⅰ)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,12\n∴|O1M|=,又|O1A|=,∴=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由求根公式得,x1+x2=,①x1x2=,②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).18.19.（2022浙江，21,15分）如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(Ⅰ)求椭圆C1的方程;(Ⅱ)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.12\n[答案]19.(Ⅰ)由题意得所以椭圆C的方程为+y2=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=,所以|AB|=2=2.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-.所以|PD|=.设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD|=,12\n所以S=≤=,当且仅当k=±时取等号.所以所求直线l1的方程为y=±x-1.19.12
