§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(一) 一、基础过关1．如图，A、N两点之间的距离为________．2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_______km3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________nmile.4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为______m.5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/小时．6．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．8．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．二、能力提升9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时．-4-\n10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.11.如图所示，在斜度一定的山坡上一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为α，向山顶前进am到达B点，从B点测得斜度为β，设建筑物的高为hm，山坡对于地平面的倾斜角为θ，求证：cosθ＝.三、探究与拓展12．在海岸A处，发现北偏东45°的方向，距离A(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案1．40 2.a 3.5 4.30＋305．20(－) 6.7．解 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)．∴A、B之间的距离为km.8．解 如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，BD＝＝30(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，-4-\n∴CD＝30(m)，即两船相距30m.9．1解析 设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化简得4t2－8t＋7≤0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而|t1－t2|＝＝1.10.11．证明 在△ABC中，由正弦定理，可知＝，即＝.∴AC＝.在△ADC中，由正弦定理，知＝.又∠CDA＝90°＋θ，∴＝.整理，得cosθ＝.12．解 如图所示，设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝(nmile)，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得-4-\nsin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．-4-
