抛物线的综合运用一、选择题1.()过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|的值为( )A.10B.8C.6D.42.(2020山东菏泽高二上期末,)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x24-y22=1的渐近线相交于A、B两点,若△ABF的周长为42,则p=( )A.2B.22C.8D.43.(2020山西长治二中高二上期末,)已知抛物线C:y2=8ax(a>0)的焦点F与双曲线D:x2a+2-y2a=1的一个焦点重合,过点F的直线与抛物线C交于点A,B,则|AF|+2|BF|的最小值为(深度解析)A.3+42B.6+42C.7D.104.(多选)()已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则( )A.C的准线方程为y=1B.线段PQ长度的最小值为4C.M的坐标可能为(3,2)D.OP·OQ=-35.(多选)(2020山东师大附中高二上期末,)设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则( )A.点P坐标为0,-14aB.直线AB的方程为y=14aC.PA⊥PBD.|AB|=12a二、填空题6.(2020海南中学高二上期中,)抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为 . 7.()斜率为1,且过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线截得的弦长为 . 8.(2021江西上高二中高二上月考,)抛物线y2=4x的焦点为F,点A(2,1),M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则△MAF周长的最小值为 . 5
9.(2021河北秦皇岛一中高二上月考,)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为π3的直线l,l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点,令|AF||BF|=λ1,|BC||BF|=λ2,则λ1+λ2的值为 . 三、解答题10.(2020北京清华大学附中高二上期末,)已知A,B,C是抛物线W:y2=4x上的三个不同的点,D是x轴上一点.(1)当点B是W的顶点,且四边形ABCD为正方形时,求此正方形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形ABCD能否为正方形,并说明理由.答案全解全析一、选择题1.B 依题意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2,∴|AB|=x1+x2+p,又2p=4,∴p=2.因此,|AB|=6+2=8,故选B.2.A 双曲线x24-y22=1的渐近线方程为y=±22x,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,不妨设A在x轴上方,则A-p2,24p,B-p2,-24p,∴|AB|=22p,|FA|=|FB|=p2+24p2=324p.又∵△ABF的周长为42,∴|FA|+|FB|+|AB|=324p+324p+22p=42,∴p=2.3.B 依题意得,2a=(a+2)+a,即2a2-a-1=0,解得a=1(负值舍去),∴F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+2=y128+2,|BF|=x2+2=y228+2.设直线AB的方程为x=my+2(m≠0),由x=my+2,y2=8x,得y2-8my-16=0,∴y1y2=-16.5
从而|AF|+2|BF|=y128+2+2y228+2=6+y12+2y228≥6+22y12y228=6+42,当且仅当y12=2y22时取等号.故选B.方法技巧 记住抛物线焦点弦的相关性质为探究解题思路提供依据,如本题中y1y2=-16是定值,在此条件下求y12+2y22的最小值,可利用基本不等式解决.4.BCD 由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,得p=2,则y2=4x,C的准线方程为x=-1,故A错误;要使线段PQ的长度最小,则直线方程为x=1,此时线段PQ的长度最小,为4,故B正确;若M(3,2),则由两点式可得直线方程为y-02-0=x-13-1,即y=x-1,由y=x-1,y2=4x,可得交点坐标为(3+22,2+22),(3-22,2-22),中点坐标正好是(3,2),故C正确;设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=2k2+4k2,所以OP·OQ=x1x1+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=1+k22-2k2+4k2=1+k2·2k2-2k2-4k2=-3,所以D正确.故选BCD.5.ABC 由y=ax2得,x2=1ay,则焦点F0,14a,准线方程为x=-14a,∴P0,-14a,A正确;设切线方程为y=kx-14a(k≠0),由y=ax2,y=kx-14a,得ax2-kx+14a=0,令Δ=k2-4×a×14a=0,解得k=±1.不妨设A在第一象限,则A12a,14a,B-12a,14a,因此直线AB的方程为y=14a,B正确;又PA=12a,12a,PB=-12a,12a,∴PA·PB=-14a2+14a2=0.5
从而PA⊥PB,即PA⊥PB,C正确;|AB|=12a--12a=1a,D错误.故选ABC.二、填空题6.答案 y2=8x解析 过点M作准线l:x=-p2的垂线,垂足为P.设抛物线的焦点为F,依题意得,|MP|=|MF|,即3+p2=5,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.答案 8解析 由抛物线y=14x2得x2=4y,∴p=2,焦点坐标为(0,1),∴斜率为1,且过焦点的直线方程为y=x+1,由y=x+1,x2=4y,消去x,得y2-6y+1=0.设该直线与抛物线的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=6,∴直线被抛物线截得的弦长为y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=6+2=8.8.答案 3+2解析 如图所示,过M作MN垂直于抛物线的准线l,垂足为N.易知F(1,0),因为△MAF的周长为|AF|+|MF|+|AM|,|AF|=(2-1)2+1=2,|MF|+|AM|=|AM|+|MN|,所以当A、M、N三点共线时,△MAF的周长最小,最小值为2+1+2=3+2.9.答案 5解析 由抛物线方程,得Fp2,0,所以直线l的方程为y=3x-p2,则C-p2,-3p,联立y=3x-p2,y2=2px,得3x2-5px+34p2=0,即(6x-p)(2x-3p)=0,则x1=3p2,x2=p6,即A32p,3p,Bp6,-33p,∴|AF||BF|=32p+p2p6+p2=3=λ1,|BC||BF|=p6+p22+-33p+3p2p6+p2=43p23p=2=λ2,∴λ1+λ2=5.5
三、解答题10.解析 (1)当点B是W的顶点时,设AC与BD相交于点E,则|EC|=|EB|,不妨设点C在x轴上方,则C的坐标为(xC,xC),代入抛物线方程得xC=4,此时正方形的边长为42,所以正方形的面积为(42)2=32.(2)四边形ABCD不可能为正方形.理由如下:当点B不是W的顶点时,直线AC的斜率一定存在,设其方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),A、C坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立y2=4x,y=kx+m,则k2x2+(2km-4)x+m2=0,所以x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k,因此,AC的中点M的坐标为2-kmk2,2k,|AC|=1+k2|x1-x2|=1+k2·16-16kmk2,若四边形ABCD为正方形,则BD的中点也是M,kBD=-1kAC=-1k,因为点D在x轴上,所以yD=0,所以yB=2×2k=4k,代入y2=4x,得xB=4k2,即B4k2,4k,所以kBD=kBM=4k-2k4k2-2-kmk2=2k2+km=-1k,整理得2k2+km+2=0,①|BD|=2|BM|=24k2-2-kmk22+4k-2k2=4+4km+k2m2+4k2k4×2,因为|AC|=|BD|,所以(1+k2)(16-16km)=4(4+4km+k2m2+4k2),化简得8+4k2+km=0,②由①②得,k2+3=0,k无解,故四边形ABCD不可能为正方形.5
