双曲线的综合运用一、选择题1.(2020山东临沂高二上期末,)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则该双曲线的离心率是( )A.3-1B.3+1C.3-12D.2-322.(2020安徽安庆二中高二上期末,)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=8,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1+1e2的取值范围是(深度解析)A.0,12B.12,43C.43,2D.12,+∞3.(2021河北秦皇岛一中高二上月考,)已知双曲线x24-y2b2=1(b>直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点,|AB|=35,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t,则t的最小值为( )A.52B.2C.52+4D.52-44.()已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是( )A.x2+y23=1B.x2-y23=1C.x23+y2=1D.x23-y2=15.(多选)()已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题正确的是( )A.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)二、填空题5
6.(2020北京西城高二上期末,)在平面直角坐标系Oxy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率是 . 7.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切于点T,且直线l与双曲线C的右支交于点P,若F1P=3F1T,则双曲线C的离心率为 . 三、解答题8.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.答案全解全析一、选择题1.B 由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点,因此△F1F2P是直角三角形,∠F1PF2=90°,又∠PF1F2=2∠PF2F1,∴∠PF1F2=60°,易知点P在双曲线的左支上,∴|PF2|=3c,|PF1|=c,∴|PF2|-|PF1|=3c-c=2a,∴e=ca=23-1=3+1.故选B.2.B 设椭圆的半焦距为c,|PF1|=r1,|PF2|=r2,依题意得,r1=8,r2=2c,且r1>r2,2r2>r1,∴2c<8,4c>8,从而2<c<4.又e1=2cr1+r2=c4+c,e2=2cr1-r2=c4-c,∴e1+1e2=c4+c+4-cc=16c2+4c.∵2<c<4,∴12<c2+4c<32,5
从而1632<16c2+4c<1612,即12<e1+1e2<43,故选B.思路点拨 以椭圆的半焦距c为自变量,e1+1e2为函数值,建立函数关系式,并求出定义域,利用函数知识,求函数的值域,即为所求的取值范围.3.D 因为两条渐近线的方程为y=±bax,直线l的方程为x=c,所以两交点坐标分别为c,bca、c,-bca,从而|AB|=2bca,由双曲线方程为x24-y2b2=1,可知a=2,所以|AB|=2bca=bc=35,所以b2c2=45,又因为c2=4+b2,所以c2(c2-4)=45,解得c=3,所以F1(-3,0).因为双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t,所以求t的最小值即求|PM|+|PF2|的最小值,要使|PM|+|PF2|最小,点P应在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF2|=|PF1|-4,所以|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-4,易知,当点P、F1、M共线时,|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|=(4+3)2+12=52,所以|PM|+|PF2|的最小值为52-4,故选D.4.B 如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1,则|ON|=12|F2M|=1,所以|F2M|=2.结合直线PN为线段MF1的垂直平分线,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故点P的轨迹是双曲线,其方程为x2-y23=1.5.AD 设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|.又点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,5
设点M的坐标为(x,0),可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故A、D正确,B错误.因为OP是△PF1F2的边F1F2上的中线,所以△PF1F2的内切圆的圆心不一定在中线OP上,故C错误.故选AD.二、填空题6.答案 2解析 由题意得双曲线的渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0,因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以e=2.7.答案 132解析 如图,由题可知,|OF1|=|OF2|=c,|OT|=a,则|F1T|=b,∵F1P=3F1T,∴|TP|=2b,|F1P|=3b,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=3b-2a.作F2M∥OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b,则|PM|=b.在Rt△MPF2中,|PM|2+|MF2|2=|PF2|2,即b2+(2a)2=(3b-2a)2,得2b=3a.又∵c2=a2+b2,∴c2=a2+94a2,化简可得4c2=13a2,∴离心率e=132,即双曲线的离心率为132.三、解答题8.解析 (1)由题意知a=23,所以一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,又c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),5
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程与双曲线方程联立,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.所以x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),所以t=4,点D的坐标为(43,3).5
