1.3.2 含有一个量词的命题的否定一、基础过关1．已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则綈p：______________.2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是________________．3．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________________．4．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是____________________．5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p”形式的命题为______________________________________．6．已知命题p：“∃x∈R＋，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．7．已知命题q：“三角形有且仅有一个外接圆”，则綈q为“______________”．8．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．二、能力提升9．已知命题p：“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∃x0∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的序号为________．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是真命题；③命题“綈p∧q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．11．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？12．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．三、探究与拓展13．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：∃x，使不等式x2＋-4-\nax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．-4-\n答案1．∃x∈R，cosx>12．有些一次函数不是单调函数3．存在一个能被2整除的数不是偶数4．每一个平行四边形都不是矩形5．对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根6．∀x∈R＋，x≤ 假7．存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆8．解 (1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在性命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．9．③解析 a＝1⇒x＋＝x＋≥2＝2，显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋≥2”成立，所以“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充分不必要条件，故p是假命题，而q是真命题，故③正确．10．3≤m<811．解 (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b<a.12．解 由已知得綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则，∴，解得a≤－3，∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．13．解 根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．因为∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，-4-\n所以a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0，∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.-4-
