命题与量词 全称量词命题与存在量词命题的否定[A级 基础巩固]1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xyD．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy解析：选A “任意”为全称量词是x，y∈R，故选项A正确．2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是( )A．有一个x∈R，使得x2>3成立B．对有些x∈R，使得x2>3成立C．任选一个x∈R，都有x2>3成立D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析：选ABD 由存在量词命题的定义可知，A、B、D均正确；C为全称量词命题，故C错误．3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.4．下列命题为真命题的是( )A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：选C A.x－2＝0⇒x＝∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确；D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是( )A．∀x∈R，2x2－3x＋4>05
B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0C．∃x∈N，x2≤xD．∃x∈N*，x为29的约数解析：选ACD 对于选项A，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，2>0，所以2x2－3x＋4>0在R上恒成立，故A为真命题；对于选项B，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；对于选项C，当x＝0或x＝1时，x2≤x成立，故C为真命题；对于选项D，当x＝1时，x为29的约数成立，故D为真命题．故选A、C、D.6．能够说明“设x，y，z是任意实数．若x>y>z，则x>y＋z”是假命题的一组整数x，y，z的值依次为______．解析：由题意，整数x，y，z满足x>y>z，但不满足x>y＋z，所以x，y，z的值依次可以为3，2，1.答案：3，2，1(答案不唯一)7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，在数轴上找不到所对应的点；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，在数轴上都能找到它所对应的点，故为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.答案：①③④8．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．5
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．[B级 综合运用]11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B ∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.12．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )A．{a|a<－1}B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}解析：选B ∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}，故选B.13．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x5
轴上”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________．(填“是”“否”中的一种)解析：∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．∴两位同学题中m范围是一致的．答案：是14．同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，一人在听音乐．有以下五个命题：①A不在修指甲，也不在看书；②B不在听音乐，也不在修指甲；③如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；④D既不在看书，也不在修指甲；⑤C不在看书，也不在听音乐．若上面的命题都是真命题，问：她们各自在做什么？解：由于以上五个命题都是真命题，我们可以列表格如下：ABCD修指甲××√×看书×√××梳头发×××√听音乐√×××首先看修指甲的，不是A，不是B，不是D，只能是C；再看看书的，不是A，不是C，不是D，只能是B；由于C在修指甲，所以A肯定在听音乐；故D在梳头发．故A在听音乐，B在看书，C在修指甲，D在梳头发．[C级 拓展探究]15．已知a∈R，命题p：∃x∈(0，1)，使得(a－1)x－1>0；命题q：∀x∈R使得x2＋ax＋4>0.(1)写出命题p的否定綈p，并求当綈p为真时，实数a的取值范围；(2)若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．解：(1)由题意，綈p：∀x∈(0，1)，使得(a－1)x－1≤0；5
若綈p为真，即a－1≤，∀x∈(0，1)恒成立，所以只需a－1≤1，解得a≤2.(2)由(1)可得，綈p为真时，a≤2；所以，若命题p为真，则a>2；若命题q为真，则对∀x∈R，x2＋ax＋4>0恒成立，因此只需Δ<0，即a2－16<0，解得－4<a<4；因为命题p，q有且只有一个为真，若p真q假，则有或解得a≥4；若p假q真，则有解得－4<a≤2；综上，p、q有且只有一个为真时，a的取值范围是－4<a≤2或a≥4.5
