1.2.2 空间两条直线的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是________．2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．3．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且aD\∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是________．4．下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．5．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是________．6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．二、能力提升9．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是______．(填序号)①MN≥(AC＋BD)②MN≤(AC＋BD)-4-\n③MN＝(AC＋BD)④MN<(AC＋BD)10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．-4-\n答案1．平行、相交或异面2．平行或异面3．①⑤4．①②5．矩形6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)连结FH，∵HD綊EA綊FB，∴HD綊FB，∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连结HA、AF，易得FH＝HA＝AF，∴△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的夹角是30°.9．④10．2411．①③12．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．-4-\n(2)解 取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.13．解 如图，取AC的中点P.连结PM、PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.-4-
