第19讲 函数与方程思想1.已知函数f(x)＝loga[x2－(2a)2]对任意x∈都有意义，则实数a的取值范围是________．答案：解析：x2－(2a)2＞0对x∈恒成立，又由题知，a＞0，a≠1，∴－(2a)2＞0，∴0＜a＜.2.在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{a}的前n项和．若S3n＝tTn，则实数t的值为________．答案：73.已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m、n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．答案：7解析：由f(m)＋f(2n)＝3，得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，解得m＝.m＋n＝n＋＝3＋(n－1)＋≥7，当且仅当n＝3时取等号．4.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．答案：6解析：设P(x，y)，F(－1，0)，＝(x，y)，＝(x＋1，y)，·＝x2＋x＋y2.又＋＝1，∴y2＝3－x2，x∈[－2，2]，则·＝＋2∈[2，6]．5.已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)作两圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA＝PB，则实数a、b满足的等量关系是________．答案：a＋2b－5＝0解析：PA＝PB，则PA2＝PB2，PA2＝PO2－1，PB2＝PC2－1，∴a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，整理得a＋2b－5＝0.6.已知a∈R，若关于x的方程x2－2x＋|a＋1|＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：方程x2－2x＋|a＋1|＋|a|＝0可化为|a＋1|＋|a|＝－x2＋2x，函数f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴|a＋1|＋|a|≤1，解得－1≤a≤0.(本题也可用判别式来解决)7.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．答案：－2解析：y′＝(n＋1)xn，切线斜率为n＋1，切线方程为y＝(n＋1)x－n，xn＝，an＝lg，a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2x3…x99)＝lg(××…×)＝lg＝－2.8.已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．答案：2－39.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54＝2014，且存在正整数k，使a1-3-\n、a54、ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为____________．答案：126解析：因为a54＝2014，所以a1＋53d＝2104，所以＋d＝38，d＞0且为正整数，所以a1是53的倍数，因为a1、a54、ak成等比数列，所以a＝a1ak＝2×2×19×19×53×53.若a1＝53，则53＋53d＝2014，d＝37；若a1＝2×53，则106＋53d＝2014，d＝36；若a1＝4×53，则212＋53d＝2014，d＝34；若a1＝1007，则1007＋53d＝2014，d＝19；所以公差d的所有可能取值之和为37＋36＋34＋19＝126.10.设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－－＜0恒成立，显然m≠0.当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m无解．综上所述，实数m的取值范围是m＜－1.11.在△ABC中，角A、B、C所对边的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a、b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝.12.设数列{an}，a1＝1，an＋1＝＋；数列{bn}，bn＝3n－1an；正数数列{dn}，d＝1＋＋.(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)设数列{bn}，{dn}的前n项和分别为Bn、Dn，求数列{bnDn＋dnBn－bndn}的前n项和Sn.(1)证明：由an＋1＝＋，得3nan＋1＝3n－1an＋1.又bn＝3n－1an，所以bn＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．-3-\n(2)解：由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，Bn＝.因d＝1＋＋，故d＝1＋＋＝1＋＝.由dn>0，得dn＝1＋＝1＋－.于是，Dn＝n＋1－.又当n≥2时，bnDn＋dnBn－bndn＝(Bn－Bn－1)Dn＋(Dn－Dn－1)Bn－(Bn－Bn－1)(Dn－Dn－1)＝BnDn－Bn－1Dn－1，所以Sn＝(BnDn－Bn－1Dn－1)＋(Bn－1Dn－1－Bn－2Dn－2)＋…＋(B2D2－B1D1)＋B1D1＝BnDn.因S1＝b1D1＋d1B1－b1d1＝B1D1也适合上式，故对于任意的n∈N*，都有Sn＝BnDn.所以Sn＝BnDn＝·＝(n3＋2n2)．13.设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a、b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.(1)解：f′(x)＝1＋2ax＋.由已知条件得即解得a＝－1，b＝3.(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)单调增加，在(1，＋∞)上单调减小．所以x＝1时，g(x)取极大值即为最大值．而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.-3-
