专题七 数学思想方法第18讲 分类讨论思想1.若A＝{x|x2－1＝0，x∈R}，B＝{x|mx＝1}，且A∩B＝B，则实数m＝________．答案：－1、0、1解析：分m＝0，m≠0两种情况写出集合B.2.在△ABC中，已知＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________．答案：－或或3.若loga<1，则实数a的取值范围为________．答案：0＜a＜或a＞1解析：分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．4.设数列{an}满足：a3＝8，(an＋1－an－2)(2an＋1－an)＝0(n∈N*)，则a1的值大于20的概率为________．答案：5.双曲线－＝1的离心率为2，则＝________．答案：3或解析：分焦点在x轴和y轴上两种情况．6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为________．答案：或7.若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围是________．答案：解析：当0＜a＜1时，函数y＝x3－ax在上单调减，∴y′(x)＝3x2－a≤0对x∈恒成立，从而≤a＜1；当a＞1时，函数y＝x3－ax在上单调增；而y′(x)＝3x2－a≥0对x∈不恒成立．故a的取值范围是.8.已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．答案：(－1，－1)解析：分x＜－1，－1≤x＜0，0≤x≤1，x＞1四种情况．9.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a＝____________．-3-\n答案：－解析：分a＜0和a>0两种情况讨论．10.在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C成等差数列，其对边a、b、c满足2b2＝3ac，则∠A＝____________．答案：90°或30°解析：由A、B、C成等差数列及A＋B＋C＝180°得B＝60°，A＋C＝120°.由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，即cosAcosC－＝－，所以cosAcosC＝0，即cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°或A＝30°.11.已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k、an＋k、al＋k也成等差数列．证明：若q＝1，则{an}的每项an＝a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列；若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．12.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1)利用函数图象的对称求解函数的问题．容易求出g(x)＝－x2＋2x.(2)h(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1.(解法1)为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类．当λ＝－1时，h(x)＝4x＋1，此时h(x)在[－1，1]上是增函数．当λ≠－1时，对称轴方程为x＝.①当λ＜－1时，需满足≤－1，解得λ＜－1；②当λ＞－1时，≥1，解得－1＜λ≤0.综上可得λ≤0.(解法2)由题知，h′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0对x∈[－1，1]恒成立．即(1＋x)λ≤1－x对x∈[－1，1]恒成立，显然x＝－1时上式恒成立，λ∈R，x∈(－1，1]时，λ≤＝－1，函数y＝－1在x∈(－1，1]上单调减，函数的最小值为0.∴λ≤0，经检验符合题意．(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论)13.已知函数f(x)＝(x－a)2ex在x＝2时取得极小值．(1)求实数a的值；(2)是否存在区间[m，n]，使得f(x)在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．解：(1)f′(x)＝ex(x－a)(x－a＋2)，由题意知f′(2)＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，f′(x)＝exx(x－2)，-3-\n易知f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，符合题意；当a＝4时，f′(x)＝ex(x－2)(x－4)，易知f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，4)，(4，＋∞)上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a＝2.(2)因为f(x)≥0，所以m≥0.①若m＝0，则n≥2.因为f(0)＝4<e4n，所以(n－2)2en＝e4n.设g(x)＝ex(x≥2)，则g′(x)＝ex≥0，所以g(x)在[2，＋∞)上为增函数．由于g(4)＝e4，即方程(n－2)2en＝e4n有唯一解为n＝4.②若m>0，则2[m，n]，即n>m>2或0<m<n<2.(Ⅰ)n>m>2时，由①可知不存在满足条件的m，n.(Ⅱ)0<m<n<2时，两式相除得m(m－2)2em＝n(n－2)2en.设h(x)＝x(x－2)2ex(0<x<2)，则h′(x)＝(x3－x2－4x＋4)ex＝(x＋2)(x－1)(x－2)ex，h(x)在(0，1)上递增，在(1，2)上递减，由h(m)＝h(n)得0<m<1，1<n<2，此时(m－2)2em<4e<e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m、n值只有一组，且m＝0，n＝4.-3-
