专题六 概率与统计、算法、复数第16讲 概率与统计1.了解抽样方法、总体分布的估计与总体特征数的估计．统计部分在高考中依然会以填空题的形式出现，主要考查数据处理意识和初步的数据处理能力，难度较小．2.了解随机事件概率及几何概型，掌握古典概型的处理方法，了解互斥事件及其发生的概率．概率部分在高考中主要还是以填空题的形式出现．1.某单位200名职工的年龄分布情况如下图所示，现要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．答案：37 20解析：系统抽样的编号构成等差数列，公差是5，故第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37；50%×40＝20.2.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案：解析：不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.3.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________．答案：解析：平均数为7，代入方差公式s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝.4.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：-7-\n题型一抽样问题例1某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名学生．(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1)x＝2000×0.19＝380.(2)初三年级共有学生人数2000－(373＋377)－(380＋370)＝500人，初三应抽取48×＝12人．(3)记女生比男生多为事件A.∵∴(y，z)的可能取值有(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(254，246)，(255，245)，共有11组，其中女生比男生多，即y＞z的有5组，则P(A)＝.题型二古典概率问题例2甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．答案：0.2解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.题型三几何概率问题-7-\n例3已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为5.(1)求椭圆的方程；(2)若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积为πab”.请针对(1)中的椭圆，求解下列问题：①若m、n是实数，且|m|≤5,|n|≤4.求点P(m,n)落在椭圆内的概率；②若m、n是整数，且|m|≤5,|n|≤4.求点P(m,n)落在椭圆外的概率及P落在椭圆上的概率．点拨：本题考查对古典概型和几何概型的理解．解：(1)由题知a＝5，c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程是＋＝1.(2)椭圆的面积是20π.①记点P(m，n)落在椭圆内为事件A，则P(A)＝＝，即P(m，n)落在椭圆内的概率为.②记点P(m，n)落在椭圆外为事件B，(m，n)共有11×9＝99个，其中在第一象限内符合事件B的有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(4，3)，(4，4)，(3，4)，(2，4)，(1，4)9个，由对称性知事件B共包括9×4＝36个，则P(B)＝＝，即P(m，n)落在椭圆外的概率是.同时易知落在椭圆上的概率是.题型四统计综合问题例4育新中学高二(一)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．解：(1)P＝＝＝，∴某同学被抽到的概率为，设有x名男同学，则＝，∴x＝3，∴男、女同学的人数分别为3，1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝＝.(3)1＝＝71，2＝＝71，s＝＝4，s＝＝3.2.-7-\n∴第二次做实验的同学的实验更稳定．1.(2022·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．答案：解析：每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝.2.(2022·湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案：解析：依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P＝＝.3.(2022·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案：60解析：由分层抽样方法可得一年级抽取人数为300×＝60.4.(2022·陕西卷)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为_________．答案：1＋a，4解析：(方法1)∵yi＝xi＋a，∴E(yi)＝E(xi)＋E(a)＝1＋a，方差D(yi)＝D(xi)＋E(a)＝4.(方法2)由题意知yi＝xi＋a，则y＝(x1＋x2＋…＋x10＋10×a)＝(x1＋x2＋…＋x10)＝x＋a＝1＋a，方差s2＝[(x1＋a－(x＋a)2＋(x2＋a－(x＋a)2＋…＋(x10＋a－(x＋a)2]＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x10－x)2]＝s2＝4.5.(2022·广东卷)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，-7-\n获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12(30，35]50.20(35，40]80.32(40，45]n1f1(45，50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．解：(1)n1＝7，n2＝2，f1＝0.28，f2＝0.08.(2)样本频率分布直方图为(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30，35]的人数为ξ，则ξ～B(4，0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.4096＝0.5904，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，50]的概率约为0.5904.6.(2022·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A、B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从150人中抽取9人．(2)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为.B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为.现从抽样评委A组3人，B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率P＝·＝-7-\n.所以，从A，B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.(本题模拟高考评分标准，满分14分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．解：(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则P(A)＝1－－＝，P(B)＝1－－＝.(6分)答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、.(7分)(2)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，(8分)则P(C)＝＋＋＝.(12分)答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为.(14分)1.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．答案：45 462.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是____________．答案：3.样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为__________．答案：64 0.44.在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为____________．-7-\n答案：5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)解：(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8、8、9、10，所以平均数为＝＝.方差为s2＝[2(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，B4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，B4)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，B3)、(A3，B4)、(A4，B1)、(A4，B2)、(A4，B3)、(A4，B4)，用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)、(A2，B4)、(A3，B2)、(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝＝.-7-
