专题六 概率与统计、算法、复数第16讲 概率与统计1.若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2＝________．答案：2.我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)．已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是________．答案：1200解析：由题设知＝，x为总文章数，∴x＝1200.3.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．答案：解析：这是一道古典概率题．n＝27，四个面上都未涂有红漆的只有1块，用对立事件来解决，∴P＝1－＝.4.某学校选修羽毛球课程的学生中，高一、高二年级分别有80名、50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为________．答案：15解析：分层抽样即按比例抽样，从而有＝.∴高二年级人数x＝×24＝15人．5.甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图(如图)，则他们在这次测验中成绩较好的是________组．甲乙5851642987866548763189009答案：甲解析：V甲＝(61＋65＋78＋79＋81＋83＋86＋87＋88＋90)×＝79.8；V乙＝(58＋64＋62＋78＋76＋76＋75＋74＋89＋80)×＝73.2.6.已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________．-4-\n答案：7.设函数f(x)＝log2x，在区间(0，5)上随机取一个数x，则f(x)<2的概率为________．答案：解析：因为log2x＜2，解得0＜x＜4，所以P(f(x)<2)＝.8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，…，9}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．答案：解析：本题考查古典概型．由题意可知，甲乙两个人猜测的所有可能性共有100种，其中满足条件的有两类，一类是两人数字相同，有10种，另一类是两人数字相差1，为0和1，1和2，2和3，…，8和9，共有9×2种，因此共计28种，则所求概率为P＝＝.9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________________．答案：10解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为30(k－1)＋9，令451≤30(k－1)＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个．10.已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为____________．答案：解析：n＝1时，y＝2x＋1，n＝2时，y＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3，n＝3时，y＝2(4x＋3)＋1＝8x＋7≥55，x≥6，所求概率为＝.11.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18、27、18个工厂．(1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．点拨：本小题主要考查概率、统计等基础知识，-4-\n数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2、3、2.(2)设A1、A2为在A区中抽得的2个工厂，B1、B2、B3为在B区中抽得的3个工厂，C1、C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，C1)、(A1，C2)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，C1)、(A2，C2)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B2，B3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B3，C1)、(B3，C2)、(C1，C2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，C1)、(A1，C2)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，C1)、(A2，C2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.12.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时，属醉酒驾车．”2022年5月3日晚8时开始，某市交警一队在该市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x、y(mg/100mL)，则事件|x－y|≤10的概率是多少？解：(1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人．(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100mL)．(3)第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人．|x－y|≤10即选的两人只能在同一组中．设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C.则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC.共36种．其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x－y|≤10这一事件，则概率P(M)＝＝.13.小张以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，-4-\n记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小张去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)x的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的只有OA2·OA5一种；数量积为－1的有OA1·OA5，OA1·OA6，OA2·OA4，OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5六种；数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，OA4·OA6四种；数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6四种；故所有可能的情况共有15种．所以小张去下棋的概率为P1＝；因为去唱歌的概率为P2＝，所以小张不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.-4-
