考点规范练28 数列的概念与表示一、非标准1.数列0,,…的一个通项公式为( ) A.an=(n∈N+)B.an=(n∈N+)C.an=(n∈N+)D.an=(n∈N+)2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于( )A.B.C.D.303.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2022的值为( )A.-B.-1C.D.24.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于( )A.2n-1B.C.D.5.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N+),则数列{an}的通项公式an= . 6.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n= . 7.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an= . 8.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N+.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式.9.已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f'(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,求数列{an}的通项公式及Sn的最大值.10.(2022湖南长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于( )\nA.2n-1B.nC.2n-1D.11.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N+).若bn+1=(n-λ),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为( )A.λ>2B.λ>3C.λ<2D.λ<312.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数an= . 13.(2022安徽合肥质检)已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于?14.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.##一、非标准1.C 解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N+;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N+,故选C.2.D 解析:∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,∴=5×(5+1)=30.3.B 解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而T2022=(-1)671×2×=-1.4.B 解析:∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an.∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即(n≥2).又a2=,\n∴an=(n≥2).当n=1时,a1=1≠,∴an=∴Sn=2an+1=2×.5.3n 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.6.5或6 解析:由题意令∴解得∴n=5或6.7. 解析:∵(n+1)+an+1·an-n=0,∴(an+1+an)=0.又an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,即,∴·…·=×…×,∴an=.8.解:(1)依题意,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,所以当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得,2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),即=1.又=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2.9.解:∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f'(x)=2ax+b.又f'(x)=-2x+7,∴a=-1,b=7.∴f(x)=-x2+7x.∵点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,∴Sn=-n2+7n.当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,∴an=-2n+8(n∈N+).令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(n∈N+),且当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.10.D 解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N+),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.\n∴an=.11.C 解析:由已知可得+1,+1=2.又+1=2≠0,则+1=2n,bn+1=2n(n-λ),bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,故bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N+).由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立.而n+1的最小值为2,故λ的取值范围为λ<2.12.n2-n 解析:观察图象,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,an=an-1+3n-2,∴an-an-1=3n-2.∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)++…+(3×2-2)+1=n2-n.13.解:(1)an=·…··a1=·…·,∴an=.(2)当n≤4时,≤6,an=,当n≥5时,≥10,an=.∴从第5项开始及其以后各项均小于.14.解:(1)当n=1时,T1=2S1-1.∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1.∴a1=1.(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n≥1).当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n≥2).所以an+2=2(an-1+2).因为a1+2=3≠0,所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.所以an+2=3×2n-1.所以an=3×2n-1-2,当n=1时也成立,所以an=3×2n-1-2.
