课时规范练28 数列的概念与表示 基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )A.1,12,13,14,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,2,3,…,n2.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式an=( )A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+33.(2020河北武邑校级联考,理4)大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历的两仪数量总和.已知大衍数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则大衍数列中奇数项的通项公式an=( )A.n2-n2B.n2-12C.(n-1)22D.n224.在数列{an}中,a1=2,an=1-1an-1(n≥2),则a2021等于( )A.12B.-12C.-1D.25.数列{an}满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4=( )A.7B.6C.5D.46.已知数列{an}的通项公式an=n2-(6+2λ)n+2014,若a6或a7为数列{an}的最小项,则实数λ的取值范围是( )A.(3,4)B.[2,5]C.[3,4]D.52,927.(2020山东烟台一模,4)数列{Fn}:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an},则数列{an}的前50项和为( )A.33B.34C.49D.50\n8.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )A.638B.639C.640D.6419.(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an= . 10.(2020河南开封三模,文15)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意p,q∈N*,有ap·aq=ap+q,若a2=4,则S6= . 11.数列{an}的通项公式是an=(n+1)·1011n,则此数列的最大项是第 项. 综合提升组12.(2020辽宁大连24中一模,8)数列{an}满足对任意的n∈N*,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=( )A.132B.299C.68D.9913.(2020广东中山期末)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=( )A.13n-1B.2n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.已知数列{an}满足a1=28,an+1-ann=2,则ann的最小值为( )A.293B.47-1C.485D.27415.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= . 16.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1,则数列bn=an2-7an+6的最小值为 . 创新应用组17.(2020山东济南三模,12改编)设{an}是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意n∈N*,均有an+k>an,则称{an}是间隔递增数列,k是{an}的间隔数,下列说法不正确的是( )A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知an=n+4n,则{an}是间隔递增数列C.已知an=2n+(-1)n,则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知an=n2-tn+2020,若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4≤t<518.\n如图,互不相同的点A1,A2,…An,…和B1,B2,…Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 . 参考答案课时规范练28 数列的概念与表示1.C 在A选项中,数列1,12,13,14,…是递减数列,不符合题意;在B选项中,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;在C选项中,数列-1,-12,-14,-18,…是递增数列又是无穷数列,符合题意;在D选项中,数列1,2,3,…,n是有穷数列,不符合题意,故选C.2.B 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故该数列的一个通项公式为n2n-1.3.B 由数列的第一项为0,故D错误;由数列的第三项为4,将n=3代入选项A,得到3,故A错误;将n=3代入选项B,得到4,故B正确.将n=3代入选项C,得到2,故C错误.故选B.4.A ∵a1=2,an=1-1an-1(n≥2),∴a2=1-12=12,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,a5=1-12=12,…,∴数列{an}是以3为周期的周期数列,∴a2021=a3×673+2=a2=12.故选A.5.D 依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.D 依题意,由二次函数的性质可知,当112<3+λ<152,即52<λ<92时,a6或a7为数列{an}的最小项,故实数λ的取值范围为52,92.故选D.7.B 由F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),得数列{Fn}的各项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数构成新的数列{an},则数列{an}的各项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,则数列{an}的前50项和为(1+1+0)×16+1+1=34.故选B.8.C 已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1,数列{an}的每项均大于零,故等号两边同时除以SnSn-1,故可得Sn-Sn-1=2,∴{Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.9.2n-1+n a1=2,∵an+1=an+2n-1+1,∴an+1-an=2n-1+1,\n∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,则an=2n-2+2n-3+…+2+1+n-1+a1=1-2n-11-2+n-1+2=2n-1+n.10.126 正项数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意p,q∈N*,有apaq=ap+q,若a2=4,当p=q=1时,a1a1=a2=4,所以a1=2,当p=1,q=2时,a1a2=a3,所以a3=8,当p=2,q=2时,a2a2=a4,所以a4=16,当p=3,q=2时,a3a2=a5,所以a5=32,当p=3,q=3时,a3a3=a6,所以a6=64,所以S6=2+4+8+16+32+64=126.11.9或10 ∵an+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)·1011n=1011n·9-n11,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,∴该数列中有最大项,且最大项为第9,10项.12.B ∵对任意的n∈N*,均有an+an+1+an+2为定值,∴(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=0,故an+3=an,∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7=2,a2=a98=4,a3=a9=3,∴S100=(a1+a2+a3)+…+(a97+a98+a99)+a100=33(a1+a2+a3)+a1=33×(2+4+3)+2=299.13.B ∵数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2.∵{Sn+nan}为常数列,∴Sn+nan=2.当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,∴(n+1)an=(n-1)an-1,从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=13·24·35·…·n-1n+1,∴an=2n(n+1)(n≥2),当n=1时上式成立,∴an=2n(n+1).故选B.14.C 由an+1-an=2n,得a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),相加得an-a1=n2-n,∴ann=n+28n-1,由函数f(x)=x+28x的性质可知,函数f(x)在(0,28)上单调递减,在[28,+∞)上单调递增.又n为正整数,且a55=485<293=a66,故选C.15.2n-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.16.-6 ∵Sn=2n-1,∴a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1,又a1=1适合上式,∴an=2n-1.∵bn=an2-7an+6=(an-72)2-254.∴当an=4,即n=3时,bn的最小值为(4-72)2-254=-6.17.A 对于选项A,an+k-an=a1qn+k-1-a1qn-1=a1qn-1(qk-1),因为q>1,所以当a1<0时,an+k<an,故A错误;对于选项B,an+k-an=n+k+4n+k-n+4n=k1-4(n+k)n=kn2+kn-4(n+k)n,令t=n2+kn-4,t在n∈N*单调递增,则t(1)=1+k-4>0,解得k>3,故B正确;对于选项C,an+k-an=2(n+k)+(-1)n+k-[2n+(-1)n]=2k+(-1)n[(-1)k-1],当n为奇数时,2k-(-1)k+1>0,存在k≥1成立,当n为偶数时,2k+(-1)k-1>0,存在k≥2成立,综上,{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2,故C正确;对于选项D,若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3,则an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2020-(n2-tn+2020)=2kn+k2-tk>0,n∈N*成立,则k2+(2-t)k>0,对于k≥3成立,且k2+(2-t)k≤0,对于k≤2成立,\n即k+(2-t)>0,对于k≥3成立,且k+(2-t)≤0,对于k≤2成立,所以t-2<3,且t-2≥2,解得4≤t<5,故D正确.故选A.18.an=3n-2 记△OA1B1的面积为S,则△OA2B2的面积为4S.从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S.即得△OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.因为这n个三角形是相似三角形,所以它们的面积比等于对应边长比的平方,而△OAnBn与△OA1B1的面积比为an2,∴an2=3n-2,即an=3n-2.
