考点规范练12 函数的应用一、非标准1.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是( )①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多 A.①③B.①④C.②③D.②④2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A.118元B.105元C.106元D.108元3.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=(表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A.y=B.y=C.y=D.y=4.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A.a12-1B.(1+a)12-1C.aD.a-15.某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.为准确研究其价格走势,下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中p,q为常数,且q>1,x∈,x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,……)( )A.f(x)=p·qxB.f(x)=px2+qx+1C.f(x)=x(x-q)2+pD.f(x)=plnx+qx26.\n图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成的,函数S=S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是( )7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m. 8.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是 . 9.(2022山西诊断)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(g/L)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=a·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4g/L时,它才能起到有效治污的作用.(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:取1.4)\n10.已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律:θ=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).(1)如果m=2,求经过多长时间,物体的温度为5摄氏度;(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.11.(2022北京,文8改编)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50minB.3.75minC.4.00minD.4.25min12.(2022福建福州模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4m,不考虑树的粗细.现在用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是( )13.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈\nN+)为二次函数关系,如图所示,则每辆客车营运 年,其营运的年平均利润最大. 14.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城?如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.15.(2022湖南郴州模拟)某旅游景点预计2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x)=(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式;(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?##一、非标准1.D2.D 解析:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选D.3.B 解析:每10个人可以推选1个,(xmod10)>6可以再推选1个,也就是说,如果(xmod10)≥7相当于给x多加了3,所以可以多一个10出来,所以y=,选择B.4.B 解析:不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,依次类推,则第二年8月份是第一年8月份后的第12个月,即一个时间间隔是1个月,这里跨过了12个月,故第二年8月份产值是b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为:=(1+a)12-1.5.C 解析:由题意,排除A,\nB,对于选项C,f'(x)=3x2-4qx+q2,令f'(x)=0,则x=q或,且q和都大于零,当x<或x>q时,f(x)单调递增;当<x<q时,f(x)单调递减,满足题意;对于D,f'(x)=+2qx,令f'(x)=0,此方程无实根或有两异号根,不合题意.6.C 解析:依题意,当a≤1时,S(a)=+2a=-a2+3a;当1<a≤2时,S(a)=+2a;当2<a≤3时,S(a)=+2+a=a+;当a>3时,S(a)=+2+3=,于是S(a)=由解析式可知选C.7.20 解析:设DE=x,MN=y,由三角形相似得:,即,即x+y=40,由均值不等式可知x+y=40≥2,S=x·y≤400,当x=y=20时取等号,所以当边长x为20m时面积最大.8.20 解析:由题意得3860+500+×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去).∴x≥20,即x的最小值为20.9.解:(1)因为a=4,所以y=则当0≤x≤4时,由-4≥4,解得x≥0,所以此时0≤x≤4;当4<x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,所以此时4<x≤8.综上,可得0≤x≤8,即一次投放4个单位的药剂,有效治污时间可达8天.(2)当6≤x≤10时,y=2×+a=10-x+-a=(14-x)+-a-4,因为14-x∈,而1≤a≤4,所以4∈,故当且仅当14-x=4时,y有最小值为8-a-4.令8-a-4≥4,解得24-16≤a≤4,所以a的最小值为24-16≈1.6.10.解:(1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=2.当θ=5时,2t+,令2t=x≥1,则x+,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此时t=1.所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.(2)物体的温度总不低于2摄氏度,即θ≥2恒成立,亦m·2t+≥2恒成立,亦即m≥2恒成立.令=x,则0<x≤1,m≥2(x-x2),由于x-x2≤,故m≥.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.11.B 解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有解得\n故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t==3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选B.12.C 解析:设CD=xm,则AD=(16-x)m,由题意可知解得4<x<16-a,矩形花圃的面积S=x(16-x),其最大值f(a)=故其图象为C.13.5 解析:由题图可知y=a(x-6)2+11,而(4,7)是其图象上一点,∴7=4a+11,∴a=-1,即y=-(x-6)2+11.∴其营运的年平均利润为=12-=2-,∴当=0,即x=5时,取得最大值,最大值为2万元.14.解:(1)由图象可知:当t=4时,v=3×4=12,故s=×4×12=24.(2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=t2;当10<t≤20时,s=×10×30+30(t-10)=30t-150;当20<t≤35时,s=×10×30+10×30+(t-20)(30+70-2t)=-t2+70t-550.综上可知,s=(3)∵t∈时,smax=×102=150<650,t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,∴当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t1=30,t2=40.∵20<t≤35,∴t=30,∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.15.解:(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37,当2≤x≤12,且x∈N+时,f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)·(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,验证x=1也满足此式,所以f(x)=-3x2+40x(x∈N+,且1≤x≤12).(2)第x个月的旅游消费总额为g(x)=即g(x)=①当1≤x≤6,且x∈N+时,g'(x)=18x2-370x+1400,令g'(x)=0,解得x=5或x=(舍去).当1≤x<5时,g'(x)>0;当5<x≤6时,g'(x)<0,故当x=5时,g(x)max=g(5)=3125.②当7≤x≤12,且x∈N+时,g(x)=-480x+6400是减函数,故当x=7时,g(x)max=g(7)=3040.综上,2022年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元.
