考点规范练11 函数与方程一、非标准1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:x1234567f(x)239-711-5-12-26那么函数f(x)在区间上的零点至少有( )A.5个B.4个C.3个D.2个2.(2022山东省实验中学模拟)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)3.函数f(x)=的零点的个数是( )A.0B.1C.2D.34.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.C.6.(2022广东广州模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是 . 7.判断方程3x-x2=0的负实数根的个数,并说明理由.8.设f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在上有零点,求m的取值范围.9.(2022北京模拟)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )A.B.C.D.10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)11.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 . 12.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.13.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.\n##一、非标准1.C 解析:由题意知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点,故在上至少有3个零点.2.C 解析:由题意可知f(1)f(2)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.3.D 解析:由题可知,当x>0时,y=lnx与y=-2x+6的图象有1个交点;当x≤0时,函数y=-x(x+1)的图象与x轴有2个交点,所以函数f(x)有3个零点.4.C 解析:当a=0时,函数f(x)的零点是x=-1;当a≠0时,则Δ>0,f(0)·f(1)<0,解得a>1;若Δ=0,即a=-,函数的零点是x=-2,不合题意.故选C.5.D 解析:∵当x>0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=,∴要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-∞,0]上有解.又当x∈(-∞,0]时,2x∈(0,1].故所求a的取值范围是(0,1].6.(1,2) 解析:设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点.在同一坐标系下画出函数y=x3与y=的图象,如图所示.∵f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,∴f(1)f(2)<0,∴x0∈(1,2),7.解:设f(x)=3x-x2,因为f(-1)=-<0,f(0)=1>0,又因为函数f(x)的图象在上是连续不断的,所以函数f(x)在(-1,0)内有零点.又因为在(-∞,0)上,函数y=3x递增,y=x2递减,所以f(x)在(-∞,0)上是单调递增的.故f(x)在(-1,0)内只有一个零点.因此方程3x-x2=0只有一个负实数根.8.解:令F(x)=0,即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0,∴m=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2=log2.∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5.∴.∴≤1-.∴log2≤log2≤log2,即log2≤m≤log2.\n9.C 解析:∵f(x)是R上的增函数,且图象是连续的,f+4×-3=-2<0,f+4×-3=-1>0,∴f(x)在内存在唯一零点.10.B 解析:在平面直角坐标系内作出函数f(x)=的图象,如图所示.当0<m<1时,函数f(x)的图象与直线y=m有3个交点,即函数g(x)=f(x)-m有3个零点.11.5 解析:方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,由图象知函数零点的个数为5.12.解:因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8>0,所以若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0,即f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在上有两根,不合题意,故a≠1.(2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解之得x=-或x=3.方程在上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a<-或a>1.13.解:因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2.当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去),所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.故这种情况不符合题意.综上可知,当m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
