【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学8.6双曲线练习一、选择题1．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由双曲线焦距为10，得52＝a2＋b2.双曲线渐近线方程y＝±x，由P(2,1)在y＝x上，得＝，∴a2＝20，b2＝5，选A.答案：A2．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A. B. C. D.解析：由双曲线的右焦点(3,0)知c＝3，即c2＝9，又c2＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.∴离心率e＝＝.对于双曲线标准方程，首先要确定a2和b2，所给方程为－＝1，很多同学易出现把a和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误．答案：C3．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点则双曲线的离心率是( )A.B.C．2D.解析：如图所示，在Rt△OPF中，OM⊥PF，且M为PF的中点，所以△OMF也是等腰直角三角形．所以有|OF|＝|OM|，即c＝a.所以e＝＝.5\n答案：A4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.答案：A5．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )A．－12B．－2C．0D．4解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴＝1，即b＝，∴双曲线方程为－＝1，焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，∵点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝y－1＝0，选C.答案：C6．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A.B.C.D.解析：由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2知|PF2|＝2，|PF1|＝4，而|F1F2|＝4，∴由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝.答案：C二、填空题7．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|FP2|的值为__________．解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4.∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12.∴|PF1|＋|PF2|＝2.充分利用PF1⊥PF2，将||PF1|－|PF2||＝2a转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键．答案：28．A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴所在直线垂直．若·＝0，则双曲线C的离心率e＝__________.5\n解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1，取其上一点P(m，n)，则Q(m，－n)，由·＝0可得(a－m，－n)·(m＋a，－n)＝0，化简得－＝1，又－＝1可得b＝a，因此双曲线的离心率为e＝.答案：9．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________，b＝__________.解析：由F(，0)知a2＋b2＝5，又两双曲线渐近线相同，则＝，∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2.答案：1 2三、解答题10．已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．解析：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，则x－4y＝4.该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是·＝＝.点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝2＋，∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)解：因为e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.5\n所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，所以c＝2.所以F1(－2，0)，F2(2，0)．所以＝，＝，·＝＝－.因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.故·＝－1，所以MF1⊥MF2.所以·＝0.(3)解：△F1MF2的底边|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，所以＝6.12．已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．解析：(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.又半焦距c＝2，故虚半轴长b＝＝.所以W的方程为－＝1(x≥)．(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋＋m2＝＝2＋.又因为x1x2＞0，所以k2－1＞0.从而·＞2.综上所述，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.5\n5
