【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学5.4数列求和练习一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案：C2．(2022·武汉质检)已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n＝( )A．13B．10C．9D．6解析：∵an＝＝1－，∴Sn＝n－＝n－1＋＝，∴n＝6.答案：D3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝(n∈N*)，则S2022的值为( )A.B.－1C.D.－1解析：∵an＝＝－，∴S2022＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝，故选C.答案：C4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )A．15B．12C．－12D．－15解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A5．1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…＋(1＋2＋22＋…＋210)的值是( )A．211－11B．211－13C．212－13D．213－11解析：设an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则5\nan＝＝2n－1，∴S11＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(211－1)＝2＋22＋…＋211－11＝－11＝212－13.答案：C6．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝( )A.B．－C．(－1)n＋1D．以上答案均不对解析：当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－＝－；当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－＋n2＝.综上可得，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.答案：C二、填空题7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝__________.解析：∵n为奇数时，an＝1，n为偶数时，an＝n∴S100＝50×1＋2＋4＋…＋100＝50＋＝2600答案：26008．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝__________.解析：∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即＝4.∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3·4n－2，S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.5\n∴log4S10＝log449＝9.答案：99．若＝110(x∈N*)，则x＝__________.答案：10三、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列{}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，故S1＝1，＝＋＋…＋.所以，当n＞1时，＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－(1－)－＝所以Sn＝.综上，数列{}的前n项和Sn＝.11．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．解析：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an5\n＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.所以数列{}的前n项和为－.12．(2022·龙岩质检)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d＞0.由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16. ①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55. ②由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4.又d＞0，∴d＝2.代入①得a1＝1.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.方法二：由等差数列的性质得：a2＋a7＝a3＋a6，∴由韦达定理知，a3，a6是方程x2－16x＋55＝0的根，解方程得x＝5或x＝11.设公差为d，则由a6＝a3＋3d，得d＝.∵d＞0，∴a3＝5，a6＝11，d＝＝2，a1＝a3－2d＝5－4＝1.故an＝2n－1.(2)方法一：当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.当n≥2时，an＝＋＋＋…＋＋，an－1＝＋＋＋…＋，两式相减得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1.因此bn＝当n＝1时，S1＝b1＝2；当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2n＋2－6.∵当n＝1时上式也成立．∴当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.5\n方法二：令cn＝，则有an＝c1＋c2＋…＋cn，an＋1＝c1＋c2＋…＋cn＋1，两式相减得an＋1－an＝cn＋1，由(1)得a1＝1，an＋1－an＝2.∴cn＋1＝2，cn＝2(n≥2)，即当n≥2时，bn＝2n＋1.又当n＝1时，b1＝2a1＝2，∴bn＝于是Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n＋1－4＝－4＝2n＋2－6，即Sn＝2n＋2－6.5
