【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学1.5函数的奇偶性与周期性练习一、选择题1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．答案：D2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，说明对任意x恒有|f(－x)|＝|f(x)|，由此得f(－x)＝－f(x)或者f(－x)＝f(x)，此时说明y＝f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，条件不充分；而当f(x)是奇函数时，|f(－x)|＝|－f(x)|对于任意x恒成立，即函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，故条件是必要的．答案：B3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )A．ex－e－x B.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x)解析：由f(x)＋g(x)＝ex可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减可得g(x)＝，选D.答案：D4．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f的值为( )A．－2B．－C．2D.－1解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈4\n(－2,0)时，f(x)＝1－.∵－2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.故选A.答案：A5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图所示．结合图象，可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则( )A．f＜fB．f＞fC．f(sin1)＜f(cos1)D．f＞f解析：∵f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期函数且2为它的一个周期，又f(x)是偶函数，由f(x)在区间[3,4]上是增函数知，f(x)在区间[－1，0]上是增函数，f(x)在区间[0,1]上是减函数．∵0＜sin＜cos＜1，∴f＞f；∵1＞sin＞cos＞0，∴f＜f；∵1＞sin1＞cos1＞0，∴f(sin1)＜f(cos1)；∵1＞sin＞cos＞0，4\n∴f＜f.答案：C二、填空题7．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋1)＋f(x)＝3，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－x，则f(－2005.5)＝__________.解析：由f(x＋1)＋f(x)＝3得f(x)＋f(x－1)＝3，两式相减得f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－2005.5)＝f(－1.5)＝f(－2＋0.5)＝f(0.5)＝1.5.答案：1.58．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.答案：69．设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.解析：观察可知，f(x)＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10，则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9三、解答题10．已知函数f(x)＝()|x＋m|＋a，且f(x)为偶函数．(1)求m的值；(2)若方程f(x)＝0有两个实数解，求a的取值范围．解析：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即()|x＋m|＋a＝()|－x＋m|＋a，∴|x＋m|＝|x－m|恒成立，故必有m＝0；(2)f(x)＝()|x|＋a，方程f(x)＝0即为()|x|＋a＝0，()|x|＝－a，方程f(x)＝0有两个实数解，即函数g(x)＝()|x|的图象与y＝－a的图象有两个交点，画出y＝g(x)的图象(如图)，可知当0＜－a＜1，即－1＜a＜0时，两图象有两个交点，即方程f(x)＝0有两个实数解．11．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2.当－1≤x＜3时，f(x)＝x，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)的值．4\n解析：∵f(x＋6)＝f(x)，x∈R，∴函数f(x)是周期为6的周期函数．又∵－1≤x＜3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2.又∵－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，∴f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(4－6)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(6－6)＝f(0)＝0.又∵2014＝335×6＋4，∴由函数的周期性得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝335×1＋1＋2＋(－1)＋0＝337.12．(2022·合肥质检)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对任意的a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，总有＞0.(1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x＋1)＜f.解析：(1)f(x)在[－1,1]上是增函数，证明如下：任取x1、x2∈[－1,1]，且x1＜x2，则x1－x2＜0，于是有＝＞0，而x1－x2＜0，故f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[－1,1]上是增函数．(2)由f(x)在[－1,1]上是增函数知：解得即－2≤x＜－，故不等式的解集为{x|－2≤x＜－}．4
