【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学1.11函数模型及其应用练习一、选择题1．(2022·福州质检)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)C．y＝log3xD．y＝2x－2答案：B2．某种商品，现在定价每件p元，每月卖出n件．根据市场调查显示，定价每上涨x成，卖出的数量将会减少y成，如果涨价后的销售总金额是现在的1.2倍，则用x来表示y的函数关系式为( )A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：1.2pn＝(p＋p)(n－)，化简得y＝.答案：C3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15(1)，所以必有4＜A，且＝＝30(2)，联立(1)(2)解得c＝60，A＝16，故选D.答案：D4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )A．每个110元B．每个105元C．每个100元D．每个95元解析：设售价为x元，则利润y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)＝－20(x2－190x＋8800)＝－20(x－95)2＋20×952－20×8800.∴当x＝95时，y最大为4500元．答案：D5\n5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝－x－＋12＝－＋12≤12－2＝2，当且仅当x＝，即x＝5时取等号．答案：C6．某医院研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )A．4小时B．4小时C．4小时D．5小时解析：当0＜t≤1时，y＝4t，当t≥1时，y＝()t－3；当y≥时，4t≥，则t≥.或()t－3≥＝()2，∴t－3≤2，t≤5，从而时间t＝＋4＝4.答案：C二、填空题7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元部分10%5\n某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝若y＝30元，则他购物实际所付金额为______元．解析：若x＝1300元，则y＝5%(1300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x＞1300.∴10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元)．答案：13508．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，所获利润y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，该二次函数的对称轴为x＝10.2，又x∈N，所以当x＝10时，能获最大利润．Lmax＝－15＋30.6＋30＝45.6.答案：45.69．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．解析：根据题目条件可知，c－a＝x(b－a)，b－c＝b－a－(c－a)＝(1－x)(b－a)，最佳乐观系数满足：c－a是b－c和b－a的等比中项，所以有[x(b－a)]2＝(1－x)(b－a)(b－a)，又因为(b－a)＞0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝，又0＜x＜1，所以x＝.答案：三、解答题10．经市场调查，某超市的一种小商品在过去近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量(件)近似函数g(t)＝80－2t，价格(元)近似满足f(t)＝20－|t－10|.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．解析：(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)＝.(2)当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200,1225]，当t＝5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，当t＝20时，y取得最小值为600.综上，第5天，日销售额y取得最大值为1225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元．5\n11．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．解析：设AN的长为x(x＞2)米，由＝，得|AM|＝，∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.(1)由S矩形AMPN＞32，得＞32，又x＞2，于是3x2－32x＋64＞0，解得2＜x＜，或x＞8，即AN长的取值范围为(2，)∪(8，＋∞)．(2)y＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，y＝取得最小值24，∴当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解析：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝5\n(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．5
