【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学4.4平面向量的应用练习一、选择题1．在△ABC中，有命题：①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是( )A．①② B．①④C．②③D．②③④解析：∵－＝＝－≠，∴①错误.＋＋＝＋＝－＝0，∴②正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0⇔||＝||，∴△ABC为等腰三角形，③正确.·＞0⇒cos〈，〉＞0，即cosA＞0，∴0°＜A＜90°，但不能确定B，C大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.答案：C2．已知点A、B的坐标为A(4,6)、B，与直线AB平行的向量的坐标可以是( )① ② ③ ④(－7,9)A．①②B．①③C．①②③D．①②③④解析：＝，＝－＝－，＝－＝－，＝.故选C.答案：C3．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与轴x，y正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是( )A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：由于i，j分别是与轴x，y正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线的方程为3x＋2y＋6＝0.5\n答案：B4．如图所示，一个物体受到四个共点力作用，处于平衡状态，当三个力的大小和方向都不变而F4的方向顺时针转过90°，大小不变，这时该物体受到的合力的大小是( )A．0B．2|F4|C.|F4|D.|F4|解析：物体处于平衡状态，物体所受合外力为0，当F4的方向顺时针转过90°时，余下的三个力的合力与F4的大小相等、方向相反，即沿图中的OA方向．此时物体所受的力相当于是两个互相垂直的F4作用，所以物体受到的合力大小是|F4|.答案：C5．已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：由于2＝3－，∴2－2＝－，即2＝.∴＝，则点P在线段AB的反向延长线上，选B.答案：B6．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( )A．||2＝·B．||2＝·C．||2＝·D．||2＝解析：对选项C，如图所示，·5\n＝||·||·cos(π－∠ACD)＝－||·||cos∠ACD＝－||2≠||2.答案：C二、填空题7．通过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程为__________．解析：方法一：∵直线与a＝(3,2)平行，∴直线斜率k＝，∴直线方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0.方法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P(x，y)，则∥a.如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足条件＝，整理，得方程为2x－3y＋8＝0.方法三：设P(x，y)为所求直线上任意一点，由题意知∥a，而＝(x＋1，y－2)，a＝(3,2)，∴(x＋1)·2－(y－2)·3＝0，化简得2x－3y＋8＝0，即为所求直线的方程．答案：2x－3y＋8＝08．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则||＝||，又OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°9．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为__________．解析：设M(x，y)，则＝(x，y)，又＝(2，－1)，＝(－1,1)，5\n∴由＝m＋n得(x，y)＝(2m，－m)＋(－n，n)．于是由2m2－n2＝2消去m，n得M的轨迹方程为x2－2y2＝2.答案：x2－2y2＝2三、解答题10．已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解析：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．∵＝－.∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．∴a＝，b＝－，即A，Q.＝，＝.∵·＝0，∴3x－y2＝0.即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．11．已知向量a＝，b＝，x∈.若函数f(x)＝a·b－λ|a＋b|的最小值为－，求实数λ的值．解析：∵|a|＝1，|b|＝1，x∈，∴a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝＝2|cosx|＝2cosx.∴f(x)＝cos2x－λcosx＝2cos2x－λcosx－1＝22－－1，cosx∈[0,1]．①当λ＜0时，取cosx＝0，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min＝－1≠－，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cosx＝，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min＝－－1＝－，解得λ＝2.5\n③当λ＞4时，取cosx＝1，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min＝1－λ＝－，解得λ＝，不符合λ＞4舍去，∴λ＝2.12．已知向量a＝，b＝，若存在不同时为零的实数k，t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，|c|≤.(1)求函数解析式k＝f(t)；(2)求函数f(t)的单调区间．解析：(1)方法一：c＝a＋(t2－3)b＝＋(t2－3)＝，d＝－ka＋tb＝∵c⊥d，即c·d＝0，得k＝t3－3t.由|c|≤，∴c2＝[a＋(t2－3)b]2≤10，a2＝1，b2＝1，a·b＝0，∴(t2－3)2＋1≤10，∴t∈[－，]．方法二：由|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，c·d＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]b2＝－k＋t3－3t＝0，∴k＝t3－3t(下同方法一)．(2)f′(t)＝3t2－3，令f′(t)＝0，∴t＝±1，t＜－1时，f′(t)＞0，∴f(t)在区间(－，－1)上单调递增；－1＜t＜1时，f′(t)＜0，∴f(t)在区间(－1,1)上单调递减；t＞1时，f′(t)＞0，∴f(t)在区间(1，)上单调递增.5
