第9讲 直线与圆锥曲线分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )．A.B．2C.D．4解析 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案 C2．(2022·台州质检)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.B.C.D.解析 由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.答案 C3．(2022·临沂二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于( )．8\nA．7B．3C．6D．5解析 点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案 A4．(2022·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )．A．1＋2B．4－2C．5－2D．3＋2解析 如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.两式相减得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－，∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴＝－，即直线AB的斜率为－.∴直线AB的方程为y－＝－，即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.8\n答案 2x＋4y－3＝06．(2022·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析 由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案 ＋＝1三、解答题(共25分)7．(12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，如果|AB|＝2，△AOB的面积为S＝1，求直线AB的方程．解 设A，B的横坐标分别为x1，x2，O到直线AB的距离为d，则d＝.由|AB|＝2，S＝1可知，d＝1，∴|b|＝，即b2＝1＋k2.把y＝kx＋b代入x2＋4y2＝4并整理得：(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，则x1，x2是该方程的两根，∴|x1－x2|＝＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝·.∵|AB|＝2，b2＝1＋k2，∴2＝，整理得：4k4－4k2＋1＝0，∴k2＝，∴k＝±.8\n∴b2＝1＋k2＝，∴b＝±，∴直线AB的方程为y＝x±或y＝－x±.8．(13分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆交于E，F两点，若＝2，求直线EF的方程；(3)是否存在实数k，直线y＝kx＋2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D(－1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，所以椭圆方程是＋y2＝1.(2)设EF：x＝my－1(m>0)，代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝，得2＝，∴m＝1，m＝－1(舍去)．故直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.(3)将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0.(*)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，以PQ为直径的圆过D(－1,0)，则PD⊥QD，即(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，8\n得(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝＝0.解得k＝，此时(*)方程Δ>0，∴存在k＝满足题设条件．分层B级 创新能力提升 1．(2022·皖南八校联考)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是( )．A.B.C．2D.解析 法一 据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝＝2.法二 直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.答案 C2．(2022·沈阳二模)过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是( )．A．(，5)B．(，)C．(1，)D．(5,5)8\n解析 令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.据题意，2<<3，如图所示．∵＝，∴2<<3，∴5<e2<10，∴<e<.答案 B3．(2022·揭阳模拟)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析 由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.答案 4．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．解析 将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x28\n)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.答案 25．(2022·北京东城模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：＋为定值．(1)解 由已知得解得a＝2，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明 由已知F1(－1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.由于Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝＝.同理|CD|＝.所以＋＝＋＝＝.当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，＋＝＋＝.8\n综上，＋为定值.6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．解 (1)由已知，得2b2＝a2＋c2＝b2＋2c2，又因为c＝1，所以b2＝2，a2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2－6x－3＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝－.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.(3)由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，由Δ＝4a2b2(a2＋b2－1)＞0，得a2＋b2＞1.此时x1＋x2＝，x1·x2＝，∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，即a2＋b2－2a2b2＝0，故b2＝，由e2＝＝，得b2＝a2－a2e2，∴2a2＝1＋.由≤e≤，得≤a2≤，≤2a≤.8
