第6讲 双曲线分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·广州二模)已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )． A．4B.C．－D．－4解析 把双曲线的方程化为x2－＝1，可见双曲线的实轴长为2，虚轴长为2.∴据题意有：2＝2×2，∴m＝－.答案 C2．(2022·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 不妨设a>0，b>0，c＝.据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案 A3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )．A．－2B．－7\nC．1D．0解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.答案 A4．已知双曲线M：－＝1和双曲线N：－＝1，其中b>a>0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为( )．A.B.C.D.解析 由得x2＝.依题意得＝c2，＝1，即＝1，e4－3e2＋1＝0，e2＝；又e2>1，因此e2＝＝2，所以e＝，即双曲线M的离心率为，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·南京二模)已知双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 双曲线－y2＝1的渐近线方程为x±ay＝0.由题意，a＝2.又b＝1，c＝，e＝＝.答案 6．(2022·青岛一模)已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．7\n解析 依题意，得e＝＝＝＝2.答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)，.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．解 (1)设所求双曲线方程为my2－nx2＝1(m＞0，n＞0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得解方程组得故所求双曲线方程为－＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(，2)，∴－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为y2－x2＝1.8．(13分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，7\n所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.分层B级 创新能力提升1.(2022·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )． A．3B．2C.D.解析 设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.答案 B2．(2022·北京西城模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＋＝2，则双曲线的离心率为( )．A.B.C.D.解析 设双曲线的右焦点为A，则＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝＝，选C.答案 C7\n3．(2022·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案 (1,2)4．(2022·湖北)如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.解析 (1)由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.(2)设sinθ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e2－＝.答案 (1) (2)5．(2022·合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；7\n(3)求△F1MF2的面积．(1)解 ∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又∵双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a＝b＝，c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0.法二 ∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴·＝0.(3)解 ∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4，且|m|＝，∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×4×＝6.6．给出双曲线x2－＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)·(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，7\n按照(1)的解法可得＝，①由于P1，P2，P，A四点共线，得＝，②由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的.7
