第6讲正弦定理和余弦定理分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·湖州模拟)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是()．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形222a＋c－b解析由正、余弦定理得2··a＝c，整理得a＝b，故△ABC为等腰三角形．2ac答案B222．(2022·金华十校二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°2222c解析由a－b＝3bc，sinC＝23sinB，得a＝3bc＋b，＝23.由余弦定理，b2222b＋c－ac－3bcc333得cosA＝＝＝－＝3－＝，所以A＝30°，故选A.2bc2bc2b222答案A3．(2022·绍兴模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()．A.2B.33C.D．22解析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.ab又∵a＝1，b＝3，∴＝，sinAsinBasinB311∴sinA＝＝×＝，b23213∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×3＝.22答案C1\n4．(2022·湖南)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．333A.B.223＋63＋39C.D.24解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得222AC＝c＋BC－2BC·ccos60°，22即7＝c＋4－4ccos60°，即c－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．333又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.22答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．πB＋π解析由题可知，sinB＋cosB＝2，所以2sin4＝2，所以B＝，根据正4ab221π弦定理可知＝，可得＝，所以sinA＝，又a＜b，故A＝.sinAsinBsinAsinπ264π答案6ba6．(2022·丽水一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cosC，abtanCtanC则＋的值是________．tanAtanB22222baa＋ba＋b－c解析由＋＝6cosC，得＝6·，abab2abcosAcosB2232tanCtanC＋即a＋b＝c，∴＋＝tanCsinAsinB＝2tanAtanB22sinC2c＝＝4.222cosCsinAsinBa＋b－c答案4三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差2\n数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，1所以cosB＝cos60°＝.22abc(2)由已知b＝ac，据正弦定理，设＝＝＝k，sinAsinBsinC22则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入b＝ac，得sinB＝sinAsinC，即sinAsin223C＝sinB＝1－cosB＝.48．(13分)(2022·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解(1)由bsinA＝3acosB，可得sinBsinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，可得πtanB＝3，所以B＝.322222(2)由sinC＝2sinA，可得c＝2a，在△ABC中，9＝a＋c－2accosB＝a＋4a－2a2＝3a，解得a＝3，所以c＝2a＝23.分层B级创新能力提升21．(2022·温州模拟)在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()．A．2B．3C．4D．5解析由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.22222由余弦定理得a＝b＋c－2bccos60°＝(b＋c)－3bc＝7－3×11＝16，∴a＝4.答案C3π2．(2022·杭州联考)已知△ABC的面积为，AC＝3，∠ABC＝，则△ABC的周长等于23()．A．3＋3B．3333C．2＋3D.23\n222221解析由余弦定理得b＝a＋c－2accosB，即a＋c－ac＝3.又△ABC的面积为acsin2π322＝，即ac＝2，所以a＋c＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A.32答案A3．(2022·金华模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．ππa＋bsinA＋sinBA＋0，π解析x＝＝＝sinA＋cosA＝2sin4.又A∈2，∴<AcsinC4ππ3π2A＋＋<，∴<sin4≤1，即x∈(1，2]．442答案(1，2]AC4．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．cosA解析设A＝θ，则B＝2θ.ACBC由正弦定理得＝，sin2θsinθACACAC∴＝1⇒＝2，即＝2.2cosθcosθcosA由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°，又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，23故30°<θ<45°⇒<cosθ<，22所以AC＝2cosθ∈(2，3)．答案2(2，3)5．(2022·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA－sinB)＋ysinB＝csinC上．(1)求角C的值；22(2)若a＋b＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．解(1)由题意得a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC，22由正弦定理，得a(a－b)＋b＝c，222即a＋b－c＝ab，222a＋b－c1由余弦定理，得cosC＝＝，2ab24\nπ结合0<C<π，得C＝.32222(2)由a＋b＝6(a＋b)－18，得(a－3)＋(b－3)＝0，从而得a＝b＝3，12π93所以△ABC的面积S＝×3×sin＝.2346．(2022·厦门模拟)如图，角θ的始边OA落在x轴上，其π0，始边、终边与单位圆分别交于点A，C，θ∈2，△AOB为等边三角形．34，(1)若点C的坐标为55.求cos∠BOC；2(2)记f(θ)＝|BC|，求函数f(θ)的解析式和值域．34，解(1)因为C点的坐标为55，43根据三角函数定义知：sin∠COA＝，cos∠COA＝，55因为△AOB为等边三角形，π所以∠AOB＝，3π∠COA＋所以cos∠COB＝cos3ππ＝cos∠COAcos－sin∠COAsin3331433－43＝×－×＝.525210π0<θ<π(2)因为∠AOC＝θ2，所以∠BOC＝＋θ.3222在△BOC中，|OB|＝|OC|＝1，由余弦定理可得：f(θ)＝|BC|＝|OC|＋|OB|－πππθ＋θ＋0<θ<222|OC||OB|·cos∠COB＝1＋1－2×1×1×cos3＝2－2cos32，ππππ5π3θ＋1因为0<θ<，所以<θ＋<，所以－<cos3<，所以1<2－233622πθ＋2cos3<2＋3，所以函数f(θ)的值域为(1,2＋3).5\n6
