第4讲 不等式的证明及著名不等式分层A级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：80分)1．已知x＞0，求函数y＝x(1－x2)的最大值．解 ∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤3＝.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时取等号．∴y≤.∴y的最大值为.2．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明 法一 构造两组数：，，；，，.因此根据柯西不等式有[()2＋()2＋()2]≥2.即(a＋b＋c)≥32＝9.(当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号)．又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.法二 ∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥3.又＋＋≥3＝，∴·1≥3·3＝9.6\n即＋＋≥9.3．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，求x－2y＋2z的最小值；并求此时的x，y，z值．解 ∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y＋2z最小值为－6，此时＝＝.又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－，y＝，z＝－.4．已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值．解 法一 ∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，又∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤3(a2＋b2＋c2)．∴a2＋b2＋c2≥.当且仅当a＝b＝c时，取等号，∴mmin＝.法二 利用柯西不等式∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1·a＋1·b＋1·c)＝a＋b＋c＝1.∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴mmin＝5．已知x＋2y＋3z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．解 由柯西不等式，有(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝1，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝时取等号．即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2取最小值.6．(2022·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定6\na，b，c为何值时，等号成立．解 ∵a、b、c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，∴2≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③∴原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．7．已知x、y、z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥36.证明 法一 代入法．＋＋＝(x＋y＋z)＋(x＋y＋z)＋(x＋y＋z)＝14＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36.当且仅当y＝2x，z＝3x，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．法二 利用柯西不等式．由于(x＋y＋z)≥2＝36.所以＋＋≥36.当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．6\n8．(2022·浙江三校调研)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．解 因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，即＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1.分层B级 创新能力提升1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求(＋)2的最大值．解 (＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)[()2＋()2]＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12.故所求最大值为12.2．(2022·镇江中学二模)已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明 法一 因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥2＝4.所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.法二 因为a、b都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2.又ab＝2，所以(1＋)2＝9.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.法三 因为ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2.因为a为正实数，所以a＋≥2＝2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.法四 因为a、b都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)·≥3··3·＝9·.又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.3．(2022·宁波模拟)已知an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：<an<.6\n证明 ∵＝，∴>n，∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.∵<，∴an<＋＋＋…＋＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.综上得：<an<.4．(2022·台州高三质量评估)已知x、y、z均为正数，求证：≤.证明 由柯西不等式，得(12＋12＋12)≥2.即×≥＋＋.∴≤.当且仅当＝＝时等号成立．5．(2022·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解 ∵f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明 由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9.6．(2022·杭州二中模拟)已知a，b为实数，且a>0，b>0.(1)求证：≥9；(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．6\n(1)证明 因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3＝3>0，①同理可证：a2＋＋≥3>0.②由①②及不等式的性质，得＝3×3＝9.(2)解 [(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.6
