第3讲数学归纳法A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )．A．7B．8C．9D．10解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案 B2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( )．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析 A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )．A.B．－C.－D.＋解析 ∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.答案 C4．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：6\n(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析 不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案 6．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析 所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和为2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案 2n－2n6\n三、解答题(共25分)7．(12分)已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．(1)解 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.∵48＋4r＝64，∴r＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )．A．k2＋16\nB．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析 ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案 D2．(2022·渝中一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为( )．A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析 ∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案 (5,7)6\n4．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________．解析 f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)·(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，由此猜想，f(n)＝(n∈N*)．答案 (n∈N*)三、解答题(共25分)5．(12分)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．6．(13分)(2022·安徽)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．(1)证明 先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c<xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2<x1可得c<0.(2)解 ①假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由xn<xn＋1＝－x＋xn＋c知，对任意n≥1都有xn<，①注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②由①式和②式可得1－－xn>0，即xn<1－.6\n由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③反复运用③式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，知2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－)n的性质，得2－1≤0，c≤，故0<c≤.②若0<c≤，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－x＋c>0，即证xn<对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c≤时，xn<对任意n≥1成立．(i)当n＝1时，x1＝0<≤，结论成立．(ii)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即xn<.因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)<f()＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xn<对任意n≥1成立．因此，xn＋1＝xn－x＋c>xn，即{xn}是递增数列．由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.6
