第8讲曲线与方程A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析 设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案 D2．(2022·云阳模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案 D3．(2022·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，8\n∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案 D4．(2022·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )．A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·泰州月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析 由正弦定理，得－＝×，∴|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．答案 －＝1(x>0且y≠0)6.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________．解析 由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.答案 y2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，8\n又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y.因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)||的最大值，最小值．解 (1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.P(x，y)是AB的中点，则由消去k得4x2＋y2－y＝0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤而|NP|2＝2＋2＝2＋＝－32＋，8\n∴当x＝－时，||取得最大值，当x＝时，||取得最小值.8B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)8\n一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·全国)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )．A．16B．14C．12D．10解析 当E、F分别为AB、BC中点时，显然碰撞的结果为4，当E、F分别为AB的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B2．(2022·江津二模)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为( )．A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1解析 如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴据题意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与8\nP到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．解析 过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.答案 y2＝x－4．(2022·南京模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．解析 由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝－，－，即P点坐标为－，－.又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.答案 ＋＝1三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A，且点F(0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．解 (1)根据题意可得可解得∴椭圆E的方程为＋＝1.8\n(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为y＝x＋2，直线PA2方程为y＝x－2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y＝4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x0＝1时，直线MN的方程为y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM＝＝＝，直线BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)，又∵F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，∴△FMN周长为|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，为定值．6．(13分)(2022·玉林模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．解 (1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(x＋)(x－)＋y·y＝0.化简得＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1.(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ>0，即m2<3k2＋1.①(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，8\n从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.则－＝－，即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2m>m2，解得0<m<2，由②得k2＝>0，解得m>，故所求的m的取值范围是.(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1<m<1.综上，当k≠0时，m的取值范围是，当k＝0时，m的取值范围是(－1,1).8
