第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·福建)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )．A．2B．2C.D．1解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O到直线AB的距离d＝＝1，故|AB|＝2|BC|＝2＝2.答案 B2．(2022·安徽)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C3．(2022·潍坊模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )．A．(＋1，＋∞)B．(－1，＋1)C．(0，－1)D．(0，＋1)解析 计算得圆心到直线l的距离为＝>1，得到右边草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.答案 A4．(2022·双桥一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为7\n( )．A．－3B．－3C．3D．3解析 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，∴a＋b≤3(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，∴a＋b的最大值为3.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·北京)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.答案 26．(2022·江苏)设集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析 ∵A∩B≠∅，∴A≠∅，∴m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠∅.要使A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋.又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋.当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．综上所述，满足条件的m的取值范围为.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.7\n(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.8．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．解 (1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即·＝0，∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，7\n∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.7B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)7\n一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·南昌模拟)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )．A.B.∪C.D.∪解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，则－<m<0或0<m<.综上知－<m<0或0<m<.答案 B2．(2022·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A7\n在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．解析 ∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A，与y轴交点B，∴S△AOB＝·＝·≥×6＝3.答案 34．(2022·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.解析 x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的距离为－＝，所以y＝x2＋a到y＝x的距离为，而与y＝x平行且距离为的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得a＝.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0.(1)如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；(2)b＝1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．解 圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，7\n∴圆心M的坐标为(1,0)，半径为r＝.(1)∵不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，∴欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，即|MP|<，即1＋b2<5，∴－2<b<2，即b的取值范围是(－2,2)．(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2.当l⊥MP时，此时|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|2＝2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当k＝1时取等号．最小值为2＝2＝2.6．(13分)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；(2)求四边形QAMB面积的最小值；(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．解 (1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，则圆心M到切线的距离为1，∴＝1，∴m＝－或0，∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.∴四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝.在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.7
