第三篇导数及其应用第1讲导数的概念及运算A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )．A.B.C.D．1解析 y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，y＝－2x＋2与x轴的交点B(1,0)．所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.答案 A2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有( )．A．af(b)<bf(a)B．bf(a)<af(b)C．af(a)<f(b)D．bf(b)<f(a)解析 构造函数F(x)＝(x>0)，F′(x)＝，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴<，即bf(a)<af(b)．答案 B3．(2022·永川模拟)已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，则f(2)的最小值为( )．6\nA．12B．12＋8a＋C．8＋8a＋D．16解析 f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得0<a<，∴a＝时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×＋＝16.故选D.答案 D4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0则x<0时( )．A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析 依题意得，函数f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·新课标全国)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案 y＝4x－36．曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．解析 依题意得y′＝3x2＋1，设点P(x0，y0)，则有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，将x0的值代入曲线方程得y0＝－4或y0＝0，从而点P的坐标是(1,0)或(－1，－4)．答案 (1,0)或(－1，－4)三、解答题(共25分)7．(12分)求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)； (2)y＝ln(x＋)；(3)y＝； (4)y＝2xsin(2x＋5)．解 (1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝·＝.6\n(3)∵y＝＝1＋∴y′＝.(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一 设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)法二 设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.6\n即y＝4x－18或y＝4x－14.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )．A．2B.C.D．－2解析 y′＝＝，点(3,2)处切线斜率k＝－，∵切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴a＝－2.答案 D2．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析 由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝x2＋m，其中m为常数，g(x)＝x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝x2－x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．解析 设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝.6\n分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，由题意得它们互为相反数，故a＝.答案 4．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2022年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y＝2＋(1≤t≤12)，∴y′＝′＝2′＋′＝＝.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10＝＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．答案 3三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y06\n)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.6．(13分)(2022·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．(1)求a，b的值；(2)证明：当0<x<2时，f(x)<.(1)解 由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，又y′|x＝0＝x＝0＝＋a，得a＝0.(2)证明 当x>0时，2<x＋1＋1＝x＋2，故<＋1.记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.6
