第四章第三节平面向量的数量积及平面向量的应用一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4B．3C．2D．02．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )A．－B.C.D.3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且a·b＝10，则|a－b|＝( )A．－10B．10C．－D.4．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )A.－1B．1C.D．25．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，) p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，) p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]其中的真命题是( )A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p46．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为( )A．(0，)B．(，π]C．(，π]D．(，]二、填空题-5-\n7．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.8．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.9．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____．三、解答题10．已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.11．设a＝(1＋cosx,1＋sinx)，b＝(1,0)，c＝(1,2)．(1)求证：(a－b)⊥(a－c)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值．12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝2，求b的值．详解答案-5-\n一、选择题1．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夹角为.答案：C3．解析：因为a·b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝.答案：D4．解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：B5．解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．答案：A6．解析：f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a|2－4a·b＞0⇒cos〈a，b〉＜，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈(，π]．答案：C二、填空题7．解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2-5-\n)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6答案：－68．解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：19．解析：由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.答案：三、解答题10．解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得，∴或，∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－.∴cosθ＝＝＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．解：(1)证明：a－b＝(cosx,1＋sinx)，a－c＝(cosx，sinx－1)，(a－b)·(a－c)＝(cosx,1＋sinx)·(cosx，sinx－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0.∴(a－b)⊥(a－c)．(2)|a|＝＝＝≤＝＋1.-5-\n当sin(x＋)＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值＋1.12．解：(1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC，∴bccosA＝abcosC，根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，∴∠A＝∠C，即a＝c.则△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得·＝bccosA＝bc·＝.·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.-5-
