第四章第二节平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )A．1 B．2C．3D．42．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝( )A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－b3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝( )A.B.C．1D．24．已知向量a＝(1,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，)，且a∥b，则锐角θ等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为( )A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于( )A.B.C.D.-5-\n二、填空题7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．8．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则＝_______(用a，b表示)．9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.三、解答题10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，λ∈R，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，求λ.11．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、.12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．详解答案一、选择题1．解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k-5-\n＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4.答案：D2．解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.答案：A3．解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝答案：B4．解析：∵a∥b，∴(1－cosθ)(1＋cosθ)＝.即sin2θ＝，又∵θ为锐角，∴sinθ＝，θ＝45°.答案：B5．解析：∵＝λa＋b，＝a＋μb，且A、B、C三点共线．∴存在实数m，使＝m，即λa＋b＝m(a＋μb)∴，∴λμ＝1.答案：D6．解析：m∥n⇒(b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝.答案：C二、填空题7．解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案：8．解析：如图所示，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋＝－a＋-5-\nb.答案：－a＋b9．解析：由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.答案：－1三、解答题10．解：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，又向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)－(－4)(2λ＋3)＝0，解得λ＝2.11．解：∵＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0，∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，化简，得＝a＋b.设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②，得t＝1－k，t＝k解得t＝.代入①，有＝a＋b.12．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2，2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有4t2＜0,2t1＋4t2≠0故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．-5-\n(3)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．又∵＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.∴＝(－a2，a2)．又∵||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.-5-
