第六章第五节合情推理与演绎推理一、选择题1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a<b，其中，画线部分是演绎推理的( )A．大前提 B．小前提C．结论D．三段论2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2011(x)＝( )A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )A.B.C.D.5.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.a2B.a2C.a2D.a26．把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an-5-\n}，则a2013＝( )A．3963B．4002C．4501D．4623二、填空题7．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________．8．已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝________.9．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.三、解答题10．已知函数f(x)＝，(1)分别求f(2)＋f()，f(3)＋f()，f(4)＋f()的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；-5-\n(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f()＋f()＋…＋f()．11．在平面几何中，研究正三角形内任一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．详解答案一、选择题1．解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．答案：B2．解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D3．解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，则其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)．f2011(x)＝f3(x)＝－sinx－cosx.答案：A4．解析：设三棱锥的内切球球心为O，那么由V＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即：V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，可得：r＝.答案：C-5-\n5.解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a＝(a)2＝a2，第二段长度的平方为a＝(a)2＝a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a＝a2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10＝＝a2.答案：A6．解析：在图乙中，前k行共有1＋2＋3＋…＋k＝个数，若a2013位于第k行，则<2013≤，而＝2016，＝1953，∴a2013位于第63行从右起的第4个数．又观察图乙可知，第k行的最后1个数为k2，∴a2013＝632－6＝3963.答案：A二、填空题7．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．解析：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知d＝OM.设该四面体各个面的面积均为S，则由等体积法得：4×S×OM＝S×AM，∴4OM＝AM，∵AO＋OM＝AM，从而＝＝3.答案：39．解析：注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1.答案：(－1)n＋1三、解答题10．解：(1)∵f(x)＝，-5-\n∴f(2)＋f()＝＋＝＋＝1，同理可得f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1.(2)由(1)猜想f(x)＋f()＝1，证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f()＋f()＋…＋f()＝f(1)＋[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋[f(2013)＋f()]＝＋＝＋2012＝.11．解：类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P－ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP－ABC＝VM－ABC＋VM－PAB＋VM－PAC＋VM－PBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)．而S△ABC＝a2，VP－ABC＝a3.故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．-5-
