【高考领航】2022高考数学总复习6-5合情推理与演绎推理练习苏教版【A组】一、填空题1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比得到的结论正确的个数是________．解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．答案：22．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝；由此可以得出推广的命题是________．答案：sin2n°＋cos2(n°＋30°)＋sinn°cos(n°＋30°)＝.3．(2022·高考大纲全国卷)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为________．解析：由反射角等于入射角，利用三角形的相似比，准确画图如图，碰撞的顺序是E→F→G→R→M→N→E.8\n答案：64．(2022·高考陕西卷)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n，n＋1，n＋2，…3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)25．(2022·高考山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.答案：6．(2022·高考陕西卷)观察下列不等式8\n1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……照此规律，第五个不等式为____________________．答案：1＋＋＋＋＋＜7．(2022·高考江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析：由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，(本题用列举法也不难找出|x|＋|y|＝20的80个不同整数解)答案：80二、解答题8．在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则(1)a2＋b2＝c2；(2)cos2A＋cos2B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆半径为r＝.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论，如果你能证明，写出证明过程，如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？解：选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．(1)设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径R＝.利用三角形的有关性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想．9．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P8\n是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．【B组】一、填空题1．(2022·高考湖南卷)对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.b2＋b4＋b6＋b8＝________.解析：依据所给定义：2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1.故b2＋b4＋b6＋b8＝3.答案：32．(2022·高考湖北卷)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：(1)b2012是数列{an}中的第________项；8\n(2)b2k－1＝________.(用k表示)解析：归纳出{an}的通项是解题关键．(1)由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N＋)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N＋)．所以b2012＝a5×1006＝a5030.(2)由(1)可知b2k－1＝a5k－1＝×5k(5k－1)＝.答案：(1)5030 (2)3．(2022·扬州模拟)已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.解析：再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.答案：nn4．(2022·常州模拟)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.答案：f(2n)≥5．已知数列an＝2n－1(n∈N*)把数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵．记S(m，n8\n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 … 解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.答案：1016．(2022·江苏连云港模拟)观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜________.解析：将上述式子推广到一般形式，可得1＋＋＋…＋＜，故1＋＋＋…＋＜＝.答案：7．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：在已知的平面图形中，中心O到两边的距离相等(如右图)，即OM＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt△OPN≌Rt△ORM，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝a2.同样地，类比到空间，如图．两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为a3.8\n答案：二、解答题8．观察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝，也可直接写成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.下面进行证明：左边＝＋＋sinαcos(α＋30°)＝＋＋sinα·(cosα·cos30°－sinαsin30°)＝－cos2α＋＋cos2α－sin2α＋sin2α－＝＝右边．故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.9．(2022·苏州模拟)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝.同理f(－1)＋f(2)＝.f(－2)＋f(3)＝.由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.8\n证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝＝＝.故猜想成立．8
