第四章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单选题(本题共8个小题,每小题5分,共40分)1.下列函数中,满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数是( ) A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=elnx答案C2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=B.y=2-xC.y=loxD.y=答案A解析函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为( )A.(0,1)B.(0,2)C.(1,3)D.(-6,2)答案A解析由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,所以0<x<1.4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则( )A.a>1B.0<a<1且m>0C.a>1且m<0D.0<a<1答案C解析由题意可知,a>1且m-1<-1,所以a>1且m<0.10
5.已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A解析a=log27>log24=2.b=log38<log39=2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.6.(2020北京101中学高三开学考试)所谓声强,是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10-12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数为( )A.1万B.2万C.5万D.10万答案D解析设张飞的声强为I1,一个士兵的声强为I2,根据题意可知140=10lg,90=10lg,所以I1=102,I2=10-3,所以=105,所以这群士兵的人数为10万.7.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0且a≠1)的图像可能是( )答案D10
解析当0<a<1时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图像过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+的图像过定点,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图像过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图像过定点,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.8.(2020北京北师大实验中学高三月考)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则的取值范围是( )A.,+∞B.[1,+∞)C.(4,+∞)D.,+∞答案B解析函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图像交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图像交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图像关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是AB的中点,∴m+n=4,∴(m+n)=2+≥1,当且仅当m=n=2时等号成立,而m+n=4,故≥1.二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0<c<1,则下列判断正确的是( )A.logca<logcbB.ca>cbC.ac>bcD.logc(a+b)>0答案AC解析因为0<c<1,所以y=logcx为减函数,由a>b>0得logca<logcb,故A正确;因为0<c<1,所以y=cx为减函数,由a>b>0,得ca<cb,故B错误;因为a>b>0,0<c<1,所以>1,所以ac>bc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=2=-1<0,故D错误.10
10.如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.有以下几个判断,正确的是( )A.a=2B.浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C.在第6个月,浮萍面积超过30m2D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3答案ACD解析因为函数图像经过(1,2)点,所以2=a,所以y=2t,故A正确;当f(t)=2t=5时,t=log25.当f(m)=2m=15时,m=log215,所以m-t=log215-log25=log23≠log221.5=1.5,所以B错误;当f(6)=26=64>30,所以C正确;当f(t1)==2时,t1=1,当f(t2)==4时,t2=2,当f(t3)==8时,t3=3,所以t1+t2=t3,所以D正确.故选ACD.11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式中可能成立的是( )A.a>b>0B.a<b<0C.0<a<bD.a=b答案ABD解析画出函数y=和y=的图像,借助图像分析a,b满足等式时的a,b大小关系,如图所示:10
若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b为负数,则a<b<0;若a=b=0,则=1.12.(2020福建厦门高一月考)已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是( )A.x0<aB.x0>aC.x0<bD.x0<c答案ABC解析由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在区间(0,+∞)上为增函数,由f(a)f(b)f(c)<0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,故选项A,B,C均可能成立;当x0<c时,由函数的单调性可得f(a)>0,f(b)>0,f(c)>0,不满足f(a)f(b)f(c)<0,故选项D不可能成立.三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.(2020广东揭阳高一期末)= . 答案29-π解析=+2(-1)×(-2)-|3-π|+(-3)=25+4-π+3-3=29-π.14.已知函数f(x)=则f(f(4))= ;函数f(x)的单调递增区间是 . 答案-1 (1,+∞)解析∵f(x)=∴f(4)=log24-1=1,则f(f(4))=f(1)=1-2=-1;根据函数f(x)的图像(图略)可知函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞).10
15.(2020浙江高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)图像恒过定点A,则点A的坐标为 ;若f-<,则实数a的取值范围是 . 答案(-1,1) 0,∪(1,+∞)解析∵函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)图像恒过定点A,令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,可得它的图像经过定点(-1,1).当0<a<1时,函数f(x)为减函数,若f-<,则1+loga-+2<,即loga,即,求得0<a<.当a>1时,函数f(x)为增函数,若f-<,则1+loga-+2<,即loga,即,求得a>,又a>1,∴a>1.综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).16.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a= . 答案-3解析∵ln2∈(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln2)=-e-aln2=-8,∴e-aln2=8,∴-aln2=ln8,∴-a=3,∴a=-3.四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求下列各式的值:(1)log535+2lo-log5-log514;10
(2)(lg2)3+(lg5)3+3lg2×lg5;(3).解(1)原式=log5+2lo=log553-1=2.(2)原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2×lg5+lg25)+3lg2×lg5=lg22+lg25+2lg2×lg5=(lg2+lg5)2=1.(3)原式=log32×log6427=.18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间,6上的最大值.解因为f(x)=|log3x|=所以在[1,+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同,在(0,1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称,据此可画出其图像,如图所示.由图像可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).当x∈时,f(x)在区间上是单调递减的,在区间(1,6]上是单调递增的.又f=2,f(6)=log36<2,故f(x)在区间上的最大值为2.19.(12分)已知f(x)=其中a>0且a≠1.(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.解(1)由题易知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,又f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递增的,∴当x≥0时,f(x)也单调递增,∴a>1.且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.综上,a,b的取值范围分别是(1,+∞),[-2,+∞).(2)∵当x<0时,f(x)<-1,∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,10
∴当x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.∴实数b的取值范围是b∈(-∞,-1].20.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)是奇函数.理由如下:由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.(3)若f=2,∴loga-loga=loga4=2,解得a=2,∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),∴解得0<x<1,故所求x的集合为(0,1).21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)10
解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加得越来越慢.因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以解得所以该函数模型的解析式是y=×x(x∈N*).(2)当x=0时,y=×0=,所以元旦放入凤眼莲的面积是m2.由×x>10×,得x>10,所以x>lo10=.因为≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.(12分)设f(x)=lo为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f(-x)=-f(x),∴lo=-lo=lo.∴,即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1),∴a=-1.(2)由(1)可知f(x)=lo.任取x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=lo-lo=lo.10
由x1>x2>1易知(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,现比较与1的大小.-1==<0,所以0<<1,lo>0,即f(x1)>f(x2).故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.(3)设g(x)=lo,则g(x)在[3,4]上为增函数.∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立,∴m<g(3)=-.∴实数m的取值范围是m<-.10
