幂函数基础过关练题组一 幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是( )A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x122.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是( )A.(-∞,1]B.-∞,12∪12,1C.(-∞,1)D.12,13.(2020广西南宁二中期中)已知幂函数f(x)=kxα的图像经过点12,22,则k+α等于( )A.12B.1C.32D.24.(2020山东泰安高一期末)已知幂函数y=f(x)的图像过点(3,3),则f(9)= . 题组二 幂函数的图像及其应用5.(2020上海青浦高一期末)幂函数y=x-2的大致图像是( )6.(2020湖南衡阳二中高一上期中)函数y=x12-1的图像关于x轴对称的图像大致是( )7.(2020云南昆明黄冈实验学校高一月考)如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图像.已知α分别取-1,1,12,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为( )10
A.2,1,12,-1B.2,-1,1,12C.12,1,2,-1D.-1,1,2,128.(2020天津六校高一上期中联考)若幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图像关于y轴对称,则实数m= . 9.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图像与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图像.题组三 幂函数的性质及综合应用10.下列函数中其定义域和值域分别与函数y=2·x-12的定义域和值域相同的是( )A.y=3xB.y=lnxC.y=2log2xD.y=2x11.(2020四川双流棠湖中学高一月考)下列函数既是奇函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的是( )A.f(x)=-x2B.f(x)=1x2C.f(x)=1x3D.f(x)=x312.(2019湖南常德石门一中期末)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm(m∈Z)在(0,+∞)上单调递减,若a=22-m6,b=22-1m,c=12-m,则下列不等关系正确的是( )A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a13.(2020四川乐山高一期末)已知函数f(x)=(m2+m-1)xm是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数.(1)求实数m的值;10
(2)请画出f(x)的大致图像;(3)若f(2a-1)>f(a),a≠12,求实数a的取值范围.能力提升练一、单项选择题1.(2020四川成都高一期末,★★☆)已知函数y=ax-3-23(a>0,且a≠1)的图像恒过点P.若点P在幂函数f(x)的图像上,则幂函数f(x)的图像大致是( )2.(2019山东济南一中高一上期末,★★☆)若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f12=( )A.-4B.4C.-12D.143.(2020湖南衡阳一中高一下期末,疑难1,★★☆)下列命题正确的是( )A.幂函数y=xn的图像都经过(0,0),(1,1)两点B.当n=0时,函数y=xn的图像是一条直线C.如果两个幂函数的图像有三个公共点,那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数,那么图像一定经过点(-1,1)4.(2020安徽六安一中高一月考,★★☆)已知a>0,b>0,且y=(a+2b)x12为幂函数,则ab的最10
大值为( )A.18B.14C.12D.345.(2020北京丰台高一上期中,★★★)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)二、多项选择题6.(★★☆)已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式中可能成立的是( )A.0<b<a<1B.-1<a<b<0C.1<a<bD.a=b7.(2020江苏常州高级中学高一期末,★★☆)下列说法正确的是( )A.若幂函数y=xα的图像经过点18,2,则其解析式为y=x-3B.函数f(x)=x-45在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=xα(α>0)的图像始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=x,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22三、填空题8.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高三开学考试,★★☆)若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm在R上为增函数,则logm27+2lg5+lg4+mlogm12= . 四、解答题9.(疑难2,★★☆)比较下列各组数的大小:(1)(-2)-3,(-2.5)-3;(2)-8-78,-1978;(3)4.125,3.8-23,(-1.9)35.10
10.(★★☆)已知函数f(x)=mx2-2mx+m-1x2-2x+1(m∈R),试比较f(5)与f(-π)的大小.11.(2020河北邯郸一中高一上期中,★★☆)若点(2,2)在幂函数f(x)的图像上,点2,12在幂函数g(x)的图像上.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;(2)定义h(x)=f(x),f(x)≤g(x),g(x),f(x)>g(x),求函数h(x)的最大值及单调区间.答案全解全析基础过关练1.D y=2x2,y=x3+x不是幂函数;y=3x是指数函数;y=x12是幂函数.故选D.2.B 依题意得1-x>0,2x-1≠0,解得x<1,且x≠12,因此f(x)的定义域是-∞,12∪12,1.故选B.3.C 由幂函数的定义知k=1.又f12=22,所以12α=22,解得α=12,从而k+α=32.4.答案 3解析 设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图像过点(3,3),∴3=3α,解得α=12,∴f(x)=x,∴f(9)=9=3.5.C 幂函数y=x-2的定义域为x≠0,在(0,+∞)上是减函数,且为偶函数,故选C.6.B y=x12-1的定义域为[0,+∞),且为增函数,所以函数图像从左往右看是上升的,所以y=x1210
-1的图像关于x轴对称的图像从左往右看是下降的,故选B.7.A 幂函数在区间(0,1)上的图像“指大图低”,所以在区间(0,1)上从上至下的图像对应的幂函数的指数依次为-1,12,1,2,所以与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为2,1,12,-1.故选A.8.答案 2解析 ∵函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数,∴m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.当m=1时,函数f(x)=x,其图像不关于y轴对称,舍去;当m=2时,函数f(x)=x2,其图像关于y轴对称,符合题意,∴m=2.9.解析 ∵幂函数y=xm-2的图像与x轴、y轴都无交点,∴m-2≤0,即m≤2.又m∈N,∴m=0,1,2.∵幂函数y=xm-2的图像关于y轴对称,∴m=0或m=2.当m=0时,幂函数为y=x-2,图像如图①所示;当m=2时,幂函数为y=x0=1(x≠0),图像如图②所示.图① 图②10.C 函数y=2·x-12的定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).A中,y=3x的定义域为R,故不符合题意;B中,y=lnx的值域为R,故不符合题意;C中,y=2log2x化为y=x(x>0),其定义域和值域都为(0,+∞),故符合题意;D中,y=2x的定义域为R,故不符合题意.故选C.11.C 对于A,定义域关于原点对称,且f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x),则函数f(x)为偶函数,故A错误;对于B,定义域关于原点对称,且f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x),则函数f(x)为偶函数,故B错误;对于C,定义域关于原点对称,且f(-x)=1(-x)3=-1x3=-f(x),则函数f(x)为奇函数,易知幂函数f(x)=x-3在区间(0,+∞)上是减函数,故C正确;对于D,定义域关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),则函数f(x)为奇函数,易知幂函数f(x)=x3在区间(0,+∞)上是增函数,故D错误.10
12.B 由函数f(x)=(m2-m-5)xm(m∈Z)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,得m2-m-5=1,m<0,m∈Z,解得m=-2,∴a=22-m6=(2-12)13=2-16,b=22-1m=(2-12)12=2-14,c=12-m=(2-1)2=2-2.由于指数函数y=2x在R上为增函数,-2<-14<-16,因此c<b<a.故选B.13.解析 (1)由函数f(x)是幂函数,得m2+m-1=1,解得m=-2或m=1.又因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以m=-2.(2)由(1)知f(x)=x-2,则f(x)的大致图像如图所示.(3)由(2)知,f(x)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则由f(2a-1)>f(a),得|2a-1|<|a|,即(2a-1)2<a2,即(a-1)(3a-1)<0,解得13<a<1.又a≠12,所以实数a的取值范围为13,12∪12,1.能力提升练一、单项选择题1.A 令x-3=0,即x=3,∴y=a0-23=13,∴P3,13.设f(x)=xα(α为常数),∵点P3,13在幂函数f(x)的图像上,∴f(3)=3α=13,解得α=-1,∴f(x)=x-1,故幂函数f(x)的图像大致同选项A.故选A.2.D 设f(x)=xα(α为常数),则f(4)=4α=22α,f(2)=2α.∵f(4)f(2)=22α2α=2α=4=22,∴α=2,∴f(x)=x2,∴f12=122=14.故选D.10
3.D 对于A,幂函数y=xn的图像都经过点(1,1),当n≤0时,图像不过点(0,0),故A不正确;对于B,当n=0时,幂函数y=xn的图像是一条直线y=1,除去点(0,1),故B不正确;对于C,函数y=x与y=x3的图像有三个交点,但这两个函数不相同,故C不正确;对于D,幂函数的图像都经过点(1,1),若幂函数为偶函数,则其图像一定经过点(-1,1),故D正确.故选D.4.A 因为y=(a+2b)x12为幂函数,所以a+2b=1.又因为a>0,b>0,所以ab=12a·2b≤12·a+2b22=18,当且仅当a+2b=1,a=2b,即a=12,b=14时取等号.所以ab的最大值为18.故选A.5.B 当0<m≤1时,1m≥1,y=(mx-1)2在区间[0,1]上单调递减,值域为[(m-1)2,1],y=x+m在[0,1]上单调递增,值域为[m,1+m],此时两个函数的图像有且仅有一个交点.当m>1时,0<1m<1,y=(mx-1)2在区间1m,1上单调递增,所以y=(mx-1)2的图像要与y=x+m的图像有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m,即m≥3.综上所述,正数m的取值范围是0<m≤1或m≥3.故选B.二、多项选择题6.ACD 画出y=x12与y=x13的图像(如图),设a12=b13=m,作直线y=m.从图像知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是A、C、D.7.CD 若幂函数y=xα的图像经过点18,2,则2=18α,解得α=-13,∴幂函数的解析式为y=x-13,故A错误;函数f(x)=x-45是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B错误;幂函数y=xα(α>0)的图像始终经过点(0,0)和(1,1),故C正确;对于任意的x1,x2∈[0,+∞),由f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22,得x1+x22≤x1+x22,即10
x1+x2+2x1x24≤x1+x22,即(x1-x2)2≥0,易知此式恒成立,故D正确.故选CD.三、填空题8.答案 4解析 由题意得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.∵幂函数f(x)在R上为增函数,∴m=3,∴logm27+2lg5+lg4+mlogm12=log327+lg25+lg4+3log312=log3332+lg100+12=32+2+12=4.四、解答题9.解析 (1)∵幂函数y=x-3在区间(-∞,0)上为减函数,且-2>-2.5,∴(-2)-3<(-2.5)-3.(2)∵幂函数y=x78在区间(0,+∞)上为增函数,且-8-78=-1878,18>19,∴1878>1978,从而-1878<-1978,即-8-78<-1978.(3)∵4.125>125=1,0<3.8-23<1-23=1,(-1.9)35<0,∴4.125>3.8-23>(-1.9)35.10.解析 f(x)=mx2-2mx+m-1x2-2x+1=m(x-1)2-1(x-1)2=m-1(x-1)2=m-(x-1)-2.函数f(x)的图像可由y=x-2的图像首先做关于x轴的对称变换,然后向右平移1个单位长度,再向上平移m(m≥0)(或向下平移|m|(m<0))个单位长度得到(如图所示).由图知,图像关于直线x=1对称且在区间(1,+∞)上单调递增,10
∴f(-π)=f(2+π),又2+π>5,∴f(-π)=f(2+π)>f(5),即f(-π)>f(5).11.解析 (1)设f(x)=xα,因为点(2,2)在幂函数f(x)的图像上,所以(2)α=2,解得α=2,即f(x)=x2.设g(x)=xβ,因为点2,12在幂函数g(x)的图像上,所以2β=12,解得β=-1,即g(x)=x-1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图像,可得函数h(x)的图像如图所示(图中实线部分).由题意及图像可知h(x)=x2,0<x≤1,x-1,x<0或x>1.根据函数h(x)的解析式及图像可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和[1,+∞).10
