赣马高级中学解答题专题训练01函数（一）命题：王怀学审核：王翔1。已知函数的定义域为，（1）求M（2）当时，求的最小值.2．已知关于的不等式>2的解集为A,且5A.（1）求实数的取值范围（2）求集合A3．已知函数，（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由。（2）若函数在上是增函数，求的取值范围。25/25\n4．已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.5．已知：函数的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线平行。（1）求b与c的值；（2）设在［1，3］上的最大值与最小值分别为。求的表达式。25/25\n赣马高级中学解答题专题训练01函数（二）（艺术生选做）命题：王怀学审核：王翔1．正三角形ABC的边长为2,P,Q分别是边AB、AC上的动点，且满足，设线段AP长为x，线段PQ长为y，（1）试求y随x变化而变化的函数关系式y＝f(x)；（2）试求函数y＝f(x)的值域。2．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共6个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率，例如：（1）求；（2）求第个月的当月利润率（3）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率25/25\n3．佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为，每件产品的售价与产量之间的关系式为．（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．4．某银行准备新设一种存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k>0）,贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能够全部放贷出去。（1）若存款的利率为x,x∈(0,0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？25/25\n赣马高级中学解答题专题训练---三角函数02命题：王怀学审核：王翔1。已知，，求和的值．2．设向量，若，，求的值。3．已知：(1)求的值；(2)求的值;(3)问：函数的图像可以通过函数的图像进行怎样的平已得到？25/25\n4．已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．5．在△ABC中，已知角A为锐角，且.（I）求f(A)的最大值；（II）若，求△ABC的三个内角和AC边的长.25/25\n赣马高级中学解答题专题训练---三角函数03命题：王怀学审核：王翔1．设函数（Ⅰ）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由。2．已知向量（1）当时，求的值；（2）求在上的值域．25/25\n3．已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为.⑴求的解析式；⑵若，求的值。4．已知向量，，记．（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；（2）若，且，求．5．已知是△的两个内角，向量，若.（Ⅰ）试问是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（Ⅱ）求的最大值，并判断此时三角形的形状.25/25\n赣马高级中学解答题专题训练---三角函数04命题：王怀学审核：王翔1．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：（I）角C的大小；（II）△ABC最短边的长.2．在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值.25/25\n3．已知△的面积为３，且。（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值。4。在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.25/25\n赣马高级中学解答题专题训练---三角函数05（艺术生选做）命题：王怀学审核：王翔1．如图，在半径为R、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与的平分线OC平行，设。（1）试写出用表示长方形EPQF的面积的函数。（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由。如果可能，求出侧面积最大时容器的体积。2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，圆环的圆心距离地面的高度为1m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.(1)试确定在时刻t时蚂蚁距离地面的高度;(2)画出函数在时的图象；(3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过m？ABCPQRS3。如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）①试用,表示；②.试用,表示（2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.25/25\nABCDMN4．已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设。（Ⅰ）试将表示成的函数；（Ⅱ）求的最小值。t（时）03691215182124y（米）10.013.010.017.010.013.010.017.010.05．某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数的图象.（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．25/25\n赣马高级中学解答题专题训练01答案函数（一）1。解(1)（…………4分）(2)=又，，（…………………6分）①若，即时，==，（…………8分）②若，即时，所以当即时，=（………………11分）2．；时时时3．4．已知函数是偶函数.25/25\n设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.解：；有一个解，，，=0，令则=0方程有正数解，令图象过/0，1/点，开口向上时，与轴切于正半轴，；开口向下，一定相交与正半轴。。。。。。。。总之，得到或5．解：（1）由A（0，1）满足解析式，又时………………4分（2）∴当时，………………6分当时，………………8分当时，………………10分……………………12分25/25\n赣马高级中学解答题专题训练01函数（二）答案命题：王怀学审核：王翔1．正三角形ABC的边长为2,P,Q分别是边AB、AC上的动点，且满足，设线段AP长为x，线段PQ长为y，（1）试求y随x变化而变化的函数关系式y＝f(x)；（2）试求函数y＝f(x)的值域。（1）（2）2．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共6个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率，例如：（1）求（2）求第个月的当月利润率（3）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率（1）由题意得（2）当时，，当时，时上式成立。当时，当时，当第个月的当月利润率25/25\n当时，是减函数，此时的最大值为；当时，当且仅当时，即时，，又，当时，答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为3．佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为，每件产品的售价与产量之间的关系式为．（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．解：(Ⅰ)总成本为．所以日销售利润．……6分(Ⅱ)①当时，．……7分令，解得或．……8分于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；……10分②当时，．……12分综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元4．某银行准备新设一种存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k>0）,贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能够全部放贷出去。（1）若存款的利率为x,x∈(0,0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx2,银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=Kx3…………（4分）（2）设银行可获收益为y,则y=0.048·Kx2–Kx3………………（6分）25/25\ny’=K·0.226x–3Kx2令y’=0即K×0.226x–3Kx2=0解得x=0或x=0.032…………………（9分）又当x(0,0.032)时，y’>0,x(0.032,0.048)时,y’<0y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048)单调递减故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益………………（12分）赣马高级中学解答题专题训练---三角函数02命题：王怀学审核：王翔1。已知，，求和的值．解：2．设向量，若，，求的值。解：3．已知：(1)求的值；(2)求的值;(3)问：函数的图像可以通过函数的图像进行怎样的平已得到？解：（1），（2）……..9分25/25\n（3）函数的图像可以通过函数的图像向左平移个单位得到4．已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．（2）∵α∈（），∴．由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．∴，cos()＝＝＝．5．在△ABC中，已知角A为锐角，且.（I）求f(A)的最大值；（II）若，求△ABC的三个内角和AC边的长.解：（I）…………3分∵角A为锐角，…………………………………4分取值最大值，其最大值为……………………6分（II）由………………8分………………10分在△ABC中，由正弦定理得：25/25\n赣马高级中学解答题专题训练---三角函数03命题：王怀学审核：王翔1．设函数（Ⅰ）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由。解：（Ⅰ）∵∴函数的最小正周期（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，，∴∴又∵，解得∴存在实数，使函数的值域恰为2．已知向量（1）当时，求的值；（2）求在上的值域．解：（1），∴，∴（5分）（2）∵，∴，∴∴∴函数25/25\n3．已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为.⑴求的解析式；⑵若，求的值。解：⑴设最高点为，相邻的最低点为，则|x1–x2|=∴，∴，∴………………………（3分）∴，∵是偶函数，∴，.∵，∴，∴……………(6分)⑵∵，∴………………………………(8分)∴原式4．已知向量，，记．（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；（2）若，且，求．答案：（1）∵，∴．定义域为．（2）因，即＞0，故为锐角，于是．∴==．………………………………12分5．已知是△的两个内角，向量，若.（Ⅰ）试问是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（Ⅱ）求的最大值，并判断此时三角形的形状.解：（Ⅰ）由条件∴∴∴为定值.25/25\n（Ⅱ）………………………………………（7分）由（Ⅰ）知，∴………………………………（8分）从而≤………………（10分）∴取等号条件是，即取得最大值，∴此时ΔABC为等腰钝角三角形赣马高级中学解答题专题训练---三角函数04命题：王怀学审核：王翔1．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：（I）角C的大小；（II）△ABC最短边的长.解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）∵，∴……………………5分（II）∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角,则B<A，又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c由，解得由，∴2．在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值.解：（1）的内角和（2）当即时，y取得最大值………………………14分3．已知△的面积为３，且。25/25\n（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值。（1）设△中角A,B,C的对边分别是a，b，c,则4．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:（1）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=---------4分由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.------------8分（2）解法一以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin-所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.25/25\n又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.-解法二:如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QE·sin=-所以船会进入警戒水域.------------------------------------------------------------------------------16分赣马高级中学解答题专题训练---三角函数05命题：王怀学审核：王翔1．如图，在半径为R、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与的平分线OC平行，设。（1）试写出用表示长方形EPQF的面积的函数。（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由。如果可能，求出侧面积最大时容器的体积。（1）（2）依题意制成的圆柱的底面周长l=EF=，则其半径为在中，故内切圆半径r=而，所以能从中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面。9分当时，即，取得最大值，此时15分2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，圆环的圆心距离地面的高度为1m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.(1)试确定在时刻t时蚂蚁距离地面的高度;(2)画出函数在时的图象；(3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过m？25/25\n(1)(2)图象如右实线部分(3)由解得，所以一圈内,有分钟的时间蚂蚁距离地面超过m.ABCPQRS3。如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）①试用,表示②.试用,表示（2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.解：（1）、如图，在ＡＢＣ中 ，＝ 设正方形的边长为 则＝（2）、而＝0<< 又0<２< 当０<£１ 为减函数当时 取得最小值为此时4．已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设ABCDMN。（Ⅰ）试将表示成的函数；（Ⅱ）求的最小值。解：（Ⅰ）如图所示，，则MB=，，由题设得：+=6，从而得，即：，由得：故：表示成的函数为：，（）t（时）0369121518212425/25\ny（米）10.013.010.017.010.013.010.017.010.0（Ⅱ）设：则，即，，令，得当时，，当时，，所以当时，取到最大值：，的最小值为5．某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数的图象.（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12,振幅A=3,b=10，∴（0≤t≤24）（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）∴∴解得，； 在同一天内，取k=0或1 ∴1≤t≤5或13≤t≤17∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。25/25
