赣马高级中学解答题专题训练18解析几何（一）编写：刘建自审核：王怀学1．过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当（为原点）的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值．2.已知P（2，0），Q（8，0），点M到点P的距离是它到点Q距离的，求点M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l：8x－y－1＝0的最小距离．3．已知直线:y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．13/13\n4．已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．（1）求线段中点的轨迹方程；（2）求的最小值．5．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆的方程.(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.13/13\n赣马高级中学解答题专题训练19解析几何（二）编写：刘建自审核：王怀学1．已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。求证：的面积为定值；（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。2．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(7分)(Ⅱ)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.(8分)13/13\n3．在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．4．如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（Ⅲ）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程．13/13\n赣马高级中学解答题专题训练20解析几何（三）编写：刘建自审核：王怀学1．将圆按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．2．已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.3．如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且（I）求动点P的轨迹方程；（II）试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.13/13\n4．四边形PMNQ为⊙O的内接梯形，圆心O在MN上，向量与的夹角为150°，（1）求⊙O的方程（2）求以M、N为焦点且过P、Q两点的椭圆方程PQMNO5.在以O为坐标原点的直角坐标系中,点为的直角顶点.已知,且点B的纵坐标大于零.(1)求向量的坐标(2)求圆关于直线OB对称的圆的方程;(3)设直线以为方向向量且过点,问是否存在实数,使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称.若不存在,请说明理由;存在请求出实数的取值范围.13/13\n赣马高级中学解答题专题训练18答案1．过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当（为原点）的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值．[解析]：设a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线的方程为：，上，，又，等号当且仅当时成立，∴直线的方程为：x+2y－4=0,Smin=42.已知P（2，0），Q（8，0），点M到点P的距离是它到点Q距离的，求点M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l：8x－y－1＝0的最小距离．解：设M（x，y），则，由题意得，|MP|＝|MQ|，∴化简并整理得：，所求轨迹是以（，0）为圆心，为半径的圆圆心到直线l的距离为∴圆上的点到直线l的最小距离为．3．已知直线:y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．[解析]：(1)，定义域：．（2）设，，∴S的最大值为2，取得最大值时k=．4．已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．（1）求线段中点的轨迹方程；（2）求的最小值．[解析]：（1）设AB的中点为P(x,y),圆C的方程化简为：又直线的方程为：，，13/13\n①，又∵P是AB的中点，，代入①得，即线段中点的轨迹方程为；．（2），，.∴．5．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆的方程.(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是.(2)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:.所以直线的方程是:.13/13\n赣马高级中学解答题专题训练19答案1．已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。求证：的面积为定值；（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。解：（1），。设圆的方程是令，得；令，得，即：的面积为定值。（2）垂直平分线段。，直线的方程是，解得：当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点。当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线不相交，不符合题意舍去。圆的方程为2．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(7分)(Ⅱ)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.(8分)解:(Ⅰ)由,得,则由,解得F(3,0).设椭圆的方程为,则,解得所以椭圆的方程为(Ⅱ)因为点在椭圆上运动,所以,从而圆心到直线13/13\n的距离.所以直线与圆恒相交又直线被圆截得的弦长为由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是3．解：（Ⅰ）依题意，有（），化简得（），这就是动点的轨迹的方程；（Ⅱ）依题意，可设、、，则有，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为（）．设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是．4．解（Ⅰ）∵∴∴（Ⅱ）在上式中，令得：∴圆心．又∵．∴外接圆的方程为（Ⅲ）∵∵圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆内切，∴即．∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆．∴，，∴轨迹方程为．13/13\n赣马高级中学解答题专题训练20解析几何（三）编写：刘建自审核：王怀学1．将圆按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．解：圆化为标准方程为，按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程为x2＋y2＝5．∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a．∴kAB＝．设直线l的方程为y＝x＋m，联立，得将方程（1）代入（2），整理得5x2＋4mx＋4m2－20＝0．（※）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，y1＋y2＝，＝（－，）．因为点C在圆上，所以，解之，得．此时，（※）式中的△＝16m2－20(4m2－20)＝300＞0．所求的直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．2．已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和其距离为，满足题意②若直线不垂直于轴，设其方程为，即设圆心到此直线的距离为，则，得∴，，故所求直线方程为综上所述，所求直线为或（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为则点坐标是13/13\n∵，∴即，又∵，∴由已知，直线m//ox轴，所以，∴点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。3．如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且（I）求动点P的轨迹方程；（II）试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.解（I）解：由点M是BN中点，又，可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，所以|PA|+|PB|=4.由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.，设椭圆方程为，由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3.可知动点P的轨迹方程为（II）解：设点的中点为Q，则，，即以PB为直径的圆的圆心为，半径为，又圆的圆心为O（0，0），半径r2=2，又=，故|OQ|=r2－r1，即两圆内切.4．四边形PMNQ为⊙O的内接梯形，圆心O在MN上，向量与的夹角为150°，（1）求⊙O的方程13/13\nPQMNO（2）求以M、N为焦点且过P、Q两点的椭圆方程（1）以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系∵与夹角为150°，∴与夹角为30°∴∠QMN=∠QPN=30°，∴∠OQM=∠OMQ=30°设⊙O的半径为R，则QM=（亦可由Rt△MQN中得）∵∴∴R2=4∴⊙O方程为x2+y2=4（2）∠QON=60°∴Q（OQcos60°，OQsin60°）即Q（1，），∴P（－1，）设所求椭圆方程为∵其焦点坐标为（±2，0），点P，Q在椭圆上∴∴∴椭圆方程为5．解:(1)设,则由,可得解得或.又,且故,(2由可知直线OB的方程为可知圆心为,半径为.设圆心关于直线OB的对称点坐标为,由解得,故所求圆的方程为（3）假设椭圆上存在两点关于直线对称,设其中点坐标为由已知直线的方程为,可设直线AB的方程为将其与已知椭圆方程联立得.由韦达定理知,.中点在圆的内部可知解得.又在直线上,故,解得代入解得即存在满足题意的实数其取值范围为13/13
