考点37 双曲线【考纲要求】（1）了解双曲线的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；（3）了解双曲线的简单应用；（4）理解数形结合的思想．【命题规律】双曲线是历年高考命题的重点热点，多与直线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等综合命题，尤以考查双曲线的离心率与渐近线为最常见，常以选择题、填空题的形式呈现，较少考查直线与双曲线的位置关系，在解答题不考双曲线．预计2022年高考对双曲线的考查会以双曲线的定义、标准方程、几何性质为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低．【典型高考试题变式】（一）双曲线的定义【例1】【2022新课标Ⅰ】已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴的周长为＝．由于是定值，要使的周长最小，则最小，即共线，∵，，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以点的纵坐标为，∴＋．18\n【方法技巧归纳】双曲线定义的主要应用方面：（1）判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进行根据要求可求出双曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系．【变式1】【变为利用定义求距离】已知双曲线上有一点到右焦点的距离为18，则点到左焦点的距离是（ ）A．8 B．28 C．12 D．8或28【答案】D【解析】根据双曲线的定义可知点到两焦点的距离的差的绝对值为，即又则，故选D．【变式2】【变为利用余弦定理结合定义处理焦点三角形】已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和的右焦点，，若，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】C（二）双曲线的标准方程18\n【例2】（1）【2022天津卷】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，且，结合可解得，所以双曲线的方程为，故选B．（2）【2022全国新课标Ⅰ卷】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是（ ）A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)【答案】A【方法技巧归纳】求双曲线标准方程的思路：（1）如果已知双曲线的中心在原点，且确定焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程，解出即可求得双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）；（2）当焦点的位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设 双曲线的一般方程为．【变式1】【变为利用双曲线定义求方程】双曲线离心率为，左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于18\n的对称点为，则双曲线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得直线是线段的中垂线，则，即，又因为该双曲线的离心率为，所以，双曲线的方程为，故选B．【变式2】【变为根据双曲线的几何性质与平面图形面积求方程】已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（），点在轴上的射影恰好是双曲线的右焦点，过点作双曲线两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A（三）双曲线的几何性质【例2】（1）【2022新课标Ⅱ卷】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）18\nA． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，即，故选C．（2）【2022全国卷Ⅰ】已知双曲线：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线的一条渐近线交于M、N两点。若，则的离心率为________．【答案】【解析】如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，．因为，所以，到直线的距离，在中，，代入计算得，即．由得，所以．【方法技巧归纳】（1）已知离心率求渐近线方程，即e＝⇒c2＝e2·a2＝a2＋b2⇒e2＝1＋，即得渐近线方程为y＝±x；（2）已知渐近线方程，若焦点位置不明确要分k＝或k＝两种情况讨论．已知渐近线方程为，可由，得，从而求得离心率18\n；（3）已知离心率可得出双曲线的渐近线方程，即得出渐近线的斜率，从而可解决与渐近线夹角有关的问题；通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线的交点，把条件转化为一个关于的不等式，再利用，转化为关于的不等式，即得离心率的取值范围．【变式1】【变为根据渐近线方程求离心率】已知双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，得，故，故选C．【变式2】【变为根据渐近线相关直线的夹角求离心率取值范围】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A（四）双曲线与圆的交汇【例4】【2022新课标Ⅱ卷】若双曲线：的一条渐近线被圆18\n所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．【方法技巧归纳】圆锥曲线与圆的交汇点比较多，如利用圆的半径与椭圆的相关的距离交汇、过圆锥曲线上相关点构成圆、圆心的位置与圆锥曲线的焦点与顶点间关系进行交汇等.解答时注意结合圆锥曲线的定义、几何性质、圆的性质，以及结合相关的平面几何求解．【变式1】【变为双曲线渐近线与圆相切】已知点为双曲线的一个焦点，以点为圆心的圆与的渐近线相切，且与交于两点，若轴，则的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为，由轴得，，所以，．【变式2】【变为过焦点的直线与圆相切】从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，O为坐标原点，，18\n，，由双曲线的定义，，即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，即．（五）双曲线与椭圆的交汇【例5】【2022全国卷3】已知双曲线：的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【方法技巧归纳】此类综合题型一般表现为有相同的焦点、准线过焦点、顶点等为另一曲线的焦点、双曲线渐近线与抛物线准线的关系、以及它们的交点等形式，或借助其它方式交汇在一起．解答时主要利用它们的几何量之间的关系通过建立简单的方程或不等式来解决．【变式1】【变为无坐标系下确定椭圆与双曲线离心率间的交汇】如图，在中，，、边上的高分别为、，若以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】设,则在椭圆中,由椭圆的定义有,∴18\n,同理在双曲线中,有,,故．【变式2】【变少渐近线方程且根据最值求离心率】已知双曲线与椭圆：具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意设第一象限的交点，则，交点四边形的面积，当时取最大值，此时，即点在双曲线上，由双曲线的焦点为，则双曲线的定义可得，，则，即，故双曲线的离心率．【数学思想】1．函数思想的渗透由于双曲线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等．2．方程思想的渗透求双曲线的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与双曲线的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与双曲线的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．3．分类讨论思想的渗透18\n若题中的涉及到双曲线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答．4．转化与化归思想转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义转化焦半径、平面几何知识的转化，往往能使问题得到快速的解决．【处理集合问题注意点】1．在双曲线的定义中易忽视条件“”与“差的绝对值”；2．易忽略双曲线的标准方程中的条件；3．求解双曲线方程方程中含有参数问题时，或根据条件无法确定焦点的位置时，注意不要忽视焦点的位置，常常要通过分类讨论进行解答；4．求解与双曲线相关的最值或几何量的取值范围时，如果建立的函数的自变量是双曲线点的坐标，此时易忽视双曲线方程中未知数的取值范围．5．解答直线与双曲线位置关系综合题时，一般要注意直线与双曲线的位置关系的限制条件，直线的斜率是否存在的讨论，也可能存在考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误．【典例试题演练】1．【2022届江西省南昌市高三第一次模】若双曲线（）的离心率为2，则（ A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由题意得，，故选C．2．【2022河北省邯郸市届摸底】分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】由双曲线的方程可知：，则18\n，据此可知的周长为，故选D．3．【2022湖北省荆州中学月考二】已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的离心率为,即．又，解得：，，则其渐近线方程为，故选B．4．【2022山西省孝义市考前热身】已知双曲线的中点在原点，焦点，点为左支上一点，满足且，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C5．【河北省2022届衡水中学押题卷】定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率18\n时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，得，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为，故选D．6．【2022届河南天一大联考高三理上段测二】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时代入得，则，则,将代入,得,则,则．∵,∴，即,则,即,则,则，故选B．7．【山东莱芜市第一中学2022年高三数学模拟】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )18\nA． B． C． D．【答案】A8．【四川省泸州市2022届高三三诊】已知中，，，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若的值为（ ）A． B．3 C． D．4【答案】D【解析】由题意，则；设，则，由双曲线的定义可得，解之得，此时，所以，故选D．9．【2022河北唐山市期末】已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（ A． B． C． D．18\n【答案】A【解析】易证得，则，即；同理，，所以，又，所以，整理，得，故选A．10．【2022重庆一中届期中】已知,若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足：且线段的中点为，则的值为()A． B． C． D．【答案】D【解析】根据条件可知点在以为焦点的双曲线上，，那么，双曲线方程是，那么设，所以，两式相减得，两边同时除以，可得，解得，故选D．18\n11．【2022届重庆市第一中学12月月考】已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，，，，，则，故排除A；当时，直线为，直线为，，设，联立得，化简得，由韦达定理得，故，，故，故排除C，D，故选B．12．【山东省日照市2022届高三第三次模拟】在等腰梯形中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（ ）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】在等腰梯形ABCD中，＝－＝,由双曲线的定义可得,由椭圆的定义可得18\n,则＝．令在上单调递减，所以，故选B．13．【2022届广西柳州市高三理10月模拟】设双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、两点，则的最小值等于＿＿＿＿＿＿．【答案】16【解析】．14．【2022届山西省太原市高三模拟考试（一）】已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线的方程为．15．【江苏省高邮市2022届高三期初考】在平面直角坐标系中，若双曲线18\n的离心率为，则m的值为_______．【答案】1或4【解析】很明显，双曲线的焦点位于轴上，由双曲线的方程可得：，整理可得：，解得：或，即m的值为1或4．16．【河北省石家庄市2022届高三毕业班第二次模拟】双曲线（，）上一点关于一条渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】17．【2022云南大理州统测一】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则＿＿＿＿．【答案】【解析】设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为18\n，直线的斜率为，．18．【河南省名校联盟2022届高三第一次段考】以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】设A点在第一象限，且坐标为，以双曲线的两焦点为直径作圆，方程为，联立，求出，则，线段AB中点M坐标为，由题意有M点与双曲线的顶点之间的距离为，所以，得出，故该双曲线为等轴双线，离心率为．18
